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title: 2023-2024学年下学期期末_含答案
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## 2023-2024学年下学期期末试卷（A）  

### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）

1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是

    A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.  
    B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.  
    C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.  
    D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    B

    $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}$

    </details>

    ***

2. 下列哪个数不是模 11 的原根？

    A. 7  
    B. 6  
    C. 4  
    D. 2

    <details>
    <summary>解：</summary>

    C

    简单验证即可

    </details>

    ***

3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是

    A. 6  
    B. 3  
    C. 2  
    D. 1

    <details>
    <summary>解：</summary>

    B

    简单计算即可

    </details>

    ***

4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是

    A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.  
    B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.  
    C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.  
    D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    D

    例如 $a - b = 3, a + b = 5, c = 15$

    </details>

    ***

5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为

    A. 16  
    B. 28  
    C. 39  
    D. 40

    <details>
    <summary>解：</summary>

    A

    $\varphi(40) = 16$

    </details>

    ***

6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$

    A. 136  
    B. 82  
    C. 5576  
    D. 11152

    <details>
    <summary>解：</summary>

    C  

    因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$

    </details>

    ***

7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是

    A. $n(n^2 + 1)$  
    B. $n(n^2 - 1)$  
    C. $n(n + 1)$  
    D. $n(n - 1)$

    <details>
    <summary>解：</summary>

    B

    $n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$，因子中必然存在2与3，故能被6整除

    </details>

    ***

8. 下列选项中正确的是

    A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。  
    B. 1275 是 Carmichael 数。  
    C. 2047 是对于基 2 的拟素数。  
    D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b)$.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    C

    简单验证即可

    </details>

    ***

9. 模 24 的一个简化剩余系为

    A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$  
    B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$  
    C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$  
    D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$

    <details>
    <summary>解：</summary>

    C

    由定义验证即可

    </details>

    ***

10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？

    A. 35  
    B. 36  
    C. 37  
    D. 38

    <details>
    <summary>解：</summary>

    A

    计算勒让德符号即可

    </details>

***

### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    2

    $13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$

    </details>

    ***

2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    4

    因为 $(3, 11) = 1$，故 $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$，则 $3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}$

    </details>

    ***

3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    $x \equiv 7 \pmod{21}$

    先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 $17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}$，再变形原方程为 $5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}$，即 $x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}$

    </details>

    ***

4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    $s = 47, t = -18, (a,b) = 3$

    进行exgcd即可，算法参见教材第一章
    </details>

    ***

5. 下面的方程组的解为 ________.

    $$
    \begin{cases}
    3x + 5y \equiv 38 \pmod{47}\\
    x - y \equiv 10 \pmod{47}
    \end{cases}
    $$

    <details>
    <summary>解：</summary>

    $x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$

    变形后解一元一次同余方程即可
    </details>

    ***

6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    -1

    简单计算勒让德符号
    </details>

    ***

7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    $x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$

    做法同3，注意多解
    </details>

    ***

8. 模 29 的最小正原根为 ________.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    2

    简单检验计算即可
    </details>

    ***

9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.

    <details>
    <summary>解：</summary>

    2

    做法同2
    </details>

    ***

10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。

    <details>
    <summary>解：</summary>

    0

    计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可

    </details>

***

### 三、计算题（共 25 分）

1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）

    模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：

    |     | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
    |-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    | 0   |   | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 38| 30|
    | 1   | 8 | 3 | 27| 31| 25| 37| 24| 33| 16| 9 |
    | 2   | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
    | 3   | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
    | 4   | 20|   |   |   |   |   |   |   |   |   |

    <details>
    <summary>解：</summary>

    $\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$  
    $\therefore\text{方程有5个解}$  
    $x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$  
    查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
    令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$  
    则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
    即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
    则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$  
    化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$  
    故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$  
    查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$

    </details>

    ***

2. 计算 Legendre 符号（10 分）

    1) $\left( \frac{33}{317} \right)$  
    2) $\left( \frac{286}{563} \right)$

    <details>
    <summary>解：</summary>

    勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1

    </details>

***

### 四、证明题（25 分）

1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）

    <details>
    <summary>证明：</summary>

    要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$  

    一种常见的思路：  
    显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$  
    所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证  

    另一种可能性：  
    尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证

    </details>

    ***

2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)

    <details>
    <summary>证明：</summary>

    显然p不为2  

    $\because p|n^4+1$  
    $\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$  
    $\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$  
    $\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$  

    由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余  
    $\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$  

    又 $\because (n,p)=1$  
    $\therefore(\frac{2}{p})=1$  
    $\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$  

    类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$  
    分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
    </details>
