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title: 2024-2025学年上学期期末_含答案
author:
  - タクヤマ
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## 说明

本学期（2024年秋季学期）的期末试卷难度**相当**低，本人评价为有手就行，故没有特意记忆所有题目，而是挑出一些有代表性的题目以供参考

我们这里再提供一道填空题，一道选择题，以显示这张卷子的**诚意**  
<ol>
  <li>

  设 $G$ 是一个群，对于 $\forall a,b \in G$， $a*b=b*a$， 则 $G$ 是 ____ 群
  </li>
  <li>

  设 $R$ 是一个环，对于 $\forall a,b \in R$， $a+b=b+a$， 则 $R$ 是？  
  A. 整环 B. 交换环 C. 含幺环 D. 环
  </li>
</ol>

很大程度上，老师的出题和给分是十分宽容的，请大家好好学习这门课程，**数学并不是妖魔鬼怪！**

## 题目

1. 设 $G=\{a,b,c,e\}$ 是一个群， $H=\{a,e\}$ 是 $G$ 的子群，写出 $H$ 的所有左陪集

    <details>

    <summary>解：</summary>

    将 $G$ 中元素 $g$ 各个代入，计算 $gH$  

    - $g = e$：
        $eH = H$

    - $g = a$：
        $aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}$，由于 $G$ 是群，且 $H$ 是子群，所以 $a^2$ 必须是 $G$ 中元素。
        故 $a^2 = e$，则： $aH = \{ e, a \} = H$

    - $g = b$：
        $bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}$，
        假设 $ba = c$ ，则：
        $bH = \{ c, b \}$

    - $g = c$：
        $cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}$，
        假设 $ca = b$ ，则：
        $cH = \{ b, c \} = bH$  

    综上所述，H的所有子陪集是 $\{ e, a \}, \{ b, c \}$

    </details>

    ***

2. 写出 $R=Z/6Z$ 的所有零因子

    <details>

    <summary>解：</summary>

      $R=Z/6Z \cong Z_6$，我们只要考虑 $Z_6$ 上的性质：
      显然有 $2\times3 \equiv 0 \pmod{6}, 4\times3 \equiv 0 \pmod{6}$，所以零因子是2，3，4

    </details>

    ***

3. 定义在有限域 $F_{17}$ 上的椭圆曲线 $E: x^3 + 2x + 3 = y^2$ 上有点 $P(2, 7), Q(11, 8)$ , 计算 $P+Q$ , $2P$

    <details>

    <summary>解：</summary>

      直接计算即可，我们这里直接给出答案： $P+Q = (8, 15)$ , $2P = (14, 15)$

    </details>

    ***

4. 求域 $F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)$的一个生成元 $g(x)$，并用 $g(x)$ 的幂表示 $F_{16}$ 中的所有非零元

    <details>

    <summary>解：</summary>

      这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 $x$ :

      | $x^n$    | $x^n\pmod{x^4+x^3+1}$ |
      | -------- | --------------------- |
      | $x^0$    | $1$                   |
      | $x^1$    | $x$                   |
      | $x^2$    | $x^2$                 |
      | $x^3$    | $x^3$                 |
      | $x^4$    | $x^3 + 1$             |
      | $x^5$    | $x^3 + x + 1$         |
      | $x^6$    | $x^3 + x^2 + x + 1$   |
      | $x^7$    | $1 + x^2 + x$         |
      | $x^8$    | $x^2 + x + 1$         |
      | $x^9$    | $x^3 + x^2 + x$       |
      | $x^{10}$ | $x^3 + x^2 + x + 1$   |
      | $x^{11}$ | $x^3 + x + 1$         |
      | $x^{12}$ | $x^3 + 1$             |
      | $x^{13}$ | $x^3$                 |
      | $x^{14}$ | $x^2$                 |

    如上表，由 $x$ 生成的15个非零元素互不相等，所以 $x$ 确实是生成元，非零元的表示如表中所示

    </details>

    ***

5. 证明：有限环的特征一定不为0

    请参考课件Chap7.pdf中27-28页
