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docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（一）/2024Spring_期末.md
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@ -15,33 +15,33 @@ author:
### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） ### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
> **设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是** > **1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是**
A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$. A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.
B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$. B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.
C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$. C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.
D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$. D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
> **下列哪个数不是模 11 的原根？** > **2. 下列哪个数不是模 11 的原根？**
A. 7  B. 6  C. 4  D. 2 A. 7  B. 6  C. 4  D. 2
> **9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是** > **3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是**
A. 6  B. 3  C. 2  D. 1 A. 6  B. 3  C. 2  D. 1
> **设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是** > **4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是**
A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$. A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.
B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$. B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.
C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$. C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.
D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$. D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
> **模 40 的简化剩余系中元素的个数为** > **5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为**
A. 16  B. 28  C. 39  D. 40 A. 16  B. 28  C. 39  D. 40
> **已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$** > **6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$**
A. 136  B. 82  C. 5576  D. 11152 A. 136  B. 82  C. 5576  D. 11152
@ -66,7 +66,7 @@ B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$
C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$ C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$ D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
> ** 10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？ > **10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？**
A. 35  B. 36  C. 37  D. 38 A. 35  B. 36  C. 37  D. 38
@ -103,7 +103,7 @@ x - y \equiv 10 \pmod{47}
### 三、计算题（共 25 分） ### 三、计算题（共 25 分）
> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解** > **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）**
模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数： 模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
@ -117,10 +117,10 @@ x - y \equiv 10 \pmod{47}
--- ---
> **2. 计算 Legendre 符号** > **2. 计算 Legendre 符号（10 分）**
1) $\left( \frac{33}{317} \right)$ 1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
2) $\left( \frac{286}{563} \right)$ （10 分） 2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
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@ -129,4 +129,3 @@ x - y \equiv 10 \pmod{47}
> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）** > **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**
> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)** > **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**