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## 题目
-> **1. 设 $G=\{a,b,c,e\}$ 是一个群， $H=\{a,e\}$ 是 $G$ 的子群，写出 $H$ 的所有左陪集**
+1. 设 $G=\{a,b,c,e\}$ 是一个群， $H=\{a,e\}$ 是 $G$ 的子群，写出 $H$ 的所有左陪集
-
+
-解：
+ 解：
-将 $G$ 中元素 $g$ 各个代入，计算 $gH$
+ 将 $G$ 中元素 $g$ 各个代入，计算 $gH$
-- $g = e$：
- $eH = H$
-
-- $g = a$：
- $aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}$，由于 $G$ 是群，且 $H$ 是子群，所以 $a^2$ 必须是 $G$ 中元素。
- 故 $a^2 = e$，则： $aH = \{ e, a \} = H$
-
-- $g = b$：
- $bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}$，
- 假设 $ba = c$ ，则：
- $bH = \{ c, b \}$
-
-- $g = c$：
- $cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}$，
- 假设 $ca = b$ ，则：
- $cH = \{ b, c \} = bH$
+ - $g = e$：
+ $eH = H$
-综上所述，H的所有子陪集是 $\{ e, a \}, \{ b, c \}$
+ - $g = a$：
+ $aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}$，由于 $G$ 是群，且 $H$ 是子群，所以 $a^2$ 必须是 $G$ 中元素。
+ 故 $a^2 = e$，则： $aH = \{ e, a \} = H$
-
+ - $g = b$：
+ $bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}$，
+ 假设 $ba = c$ ，则：
+ $bH = \{ c, b \}$
-***
+ - $g = c$：
+ $cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}$，
+ 假设 $ca = b$ ，则：
+ $cH = \{ b, c \} = bH$
-> **2. 写出 $R=Z/6Z$ 的所有零因子**
+ 综上所述，H的所有子陪集是 $\{ e, a \}, \{ b, c \}$
-
+
-解：
+ ***
- $R=Z/6Z \cong Z_6$，我们只要考虑 $Z_6$ 上的性质：
- 显然有 $2\*3 \equiv 0 \pmod{6}, 4*3 \equiv 0 \pmod{6}$，所以零因子是2，3，4
+2. 写出 $R=Z/6Z$ 的所有零因子
-
+
-***
+ 解：
-> **3. 定义在有限域 $F_{17}$ 上的椭圆曲线 $E: x^3 + 2x + 3 = y^2$ 上有点 $P(2, 7), Q(11, 8)$ , 计算 $P+Q$ , $2P$**
+ $R=Z/6Z \cong Z_6$，我们只要考虑 $Z_6$ 上的性质：
+ 显然有 $2\times3 \equiv 0 \pmod{6}, 4\times3 \equiv 0 \pmod{6}$，所以零因子是2，3，4
-
+
-解：
+ ***
- 直接计算即可，我们这里直接给出答案： $P+Q = (8, 15)$ , $2P = (14, 15)$
+3. 定义在有限域 $F_{17}$ 上的椭圆曲线 $E: x^3 + 2x + 3 = y^2$ 上有点 $P(2, 7), Q(11, 8)$ , 计算 $P+Q$ , $2P$
-
+
-***
+ 解：
-> **4. 求域 $F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)$的一个生成元 $g(x)$，并用 $g(x)$ 的幂表示 $F_{16}$ 中的所有非零元**
+ 直接计算即可，我们这里直接给出答案： $P+Q = (8, 15)$ , $2P = (14, 15)$
-
+
-解：
+ ***
- 这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 $x$ :
+4. 求域 $F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)$的一个生成元 $g(x)$，并用 $g(x)$ 的幂表示 $F_{16}$ 中的所有非零元
- | $x^n$ | $x^n\pmod{x^4+x^3+1}$ |
- | -------- | --------------------- |
- | $x^0$ | $1$ |
- | $x^1$ | $x$ |
- | $x^2$ | $x^2$ |
- | $x^3$ | $x^3$ |
- | $x^4$ | $x^3 + 1$ |
- | $x^5$ | $x^3 + x + 1$ |
- | $x^6$ | $x^3 + x^2 + x + 1$ |
- | $x^7$ | $1 + x^2 + x$ |
- | $x^8$ | $x^2 + x + 1$ |
- | $x^9$ | $x^3 + x^2 + x$ |
- | $x^{10}$ | $x^3 + x^2 + x + 1$ |
- | $x^{11}$ | $x^3 + x + 1$ |
- | $x^{12}$ | $x^3 + 1$ |
- | $x^{13}$ | $x^3$ |
- | $x^{14}$ | $x^2$ |
+
-如上表，由 $x$ 生成的15个非零元素互不相等，所以 $x$ 确实是生成元，非零元的表示如表中所示
+ 解：
-
+ 这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 $x$ :
-***
+ | $x^n$ | $x^n\pmod{x^4+x^3+1}$ |
+ | -------- | --------------------- |
+ | $x^0$ | $1$ |
+ | $x^1$ | $x$ |
+ | $x^2$ | $x^2$ |
+ | $x^3$ | $x^3$ |
+ | $x^4$ | $x^3 + 1$ |
+ | $x^5$ | $x^3 + x + 1$ |
+ | $x^6$ | $x^3 + x^2 + x + 1$ |
+ | $x^7$ | $1 + x^2 + x$ |
+ | $x^8$ | $x^2 + x + 1$ |
+ | $x^9$ | $x^3 + x^2 + x$ |
+ | $x^{10}$ | $x^3 + x^2 + x + 1$ |
+ | $x^{11}$ | $x^3 + x + 1$ |
+ | $x^{12}$ | $x^3 + 1$ |
+ | $x^{13}$ | $x^3$ |
+ | $x^{14}$ | $x^2$ |
-> **5. 证明：有限环的特征一定不为0**
+ 如上表，由 $x$ 生成的15个非零元素互不相等，所以 $x$ 确实是生成元，非零元的表示如表中所示
-证明：请参考课件Chap7.pdf中27-28页
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+5. 证明：有限环的特征一定不为0
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+ 请参考课件Chap7.pdf中27-28页