diff --git a/docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（一）/2023-2024学年下学期期末_含答案.md b/docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（一）/2023-2024学年下学期期末_含答案.md
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### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
-> **1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是**
+1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是
-A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.
-B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.
-C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.
-D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
+ A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.
+ B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.
+ C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.
+ D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
-
-解：
-B
-
-$a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}$
-
+
+ 解：
+ B
-> **2. 下列哪个数不是模 11 的原根？**
+ $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}$
+
-A. 7
-B. 6
-C. 4
-D. 2
+ ***
-
-解：
-C
-
-简单验证即可
-
+2. 下列哪个数不是模 11 的原根？
-> **3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是**
+ A. 7
+ B. 6
+ C. 4
+ D. 2
-A. 6
-B. 3
-C. 2
-D. 1
+
+ 解：
+ C
-
-解：
-B
-
-简单计算即可
-
+ 简单验证即可
+
-> **4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是**
+ ***
-A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.
-B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.
-C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.
-D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
+3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是
-
-解：
-D
-
-例如 $a - b = 3, a + b = 5, c = 15$
-
+ A. 6
+ B. 3
+ C. 2
+ D. 1
-> **5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为**
+
+ 解：
+ B
-A. 16
-B. 28
-C. 39
-D. 40
+ 简单计算即可
+
-
-解：
-A
+ ***
-$\varphi(40) = 16$
-
+4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是
-> **6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$**
+ A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.
+ B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.
+ C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.
+ D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
-A. 136
-B. 82
-C. 5576
-D. 11152
+
+ 解：
+ D
-
-解：
-C
-因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$
-
+ 例如 $a - b = 3, a + b = 5, c = 15$
+
-> **7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是**
+ ***
-A. $n(n^2 + 1)$
-B. $n(n^2 - 1)$
-C. $n(n + 1)$
-D. $n(n - 1)$
+5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为
-
-解：
-B
+ A. 16
+ B. 28
+ C. 39
+ D. 40
-$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$，因子中必然存在2与3，故能被6整除
-
+
+ 解：
+ A
-> **8. 下列选项中正确的是**
+ $\varphi(40) = 16$
+
-A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。
-B. 1275 是 Carmichael 数。
-C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
-D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b)$.
+ ***
-
-解：
-C
+6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$
-简单验证即可
-
+ A. 136
+ B. 82
+ C. 5576
+ D. 11152
-> **9. 模 24 的一个简化剩余系为**
+
+ 解：
+ C
-A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$
-B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$
-C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
-D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
+ 因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$
+
-
-解：
-C
+ ***
-由定义验证即可
-
+7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是
-> **10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？**
+ A. $n(n^2 + 1)$
+ B. $n(n^2 - 1)$
+ C. $n(n + 1)$
+ D. $n(n - 1)$
-A. 35
-B. 36
-C. 37
-D. 38
+
+ 解：
+ B
-
-解：
-A
+ $n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$，因子中必然存在2与3，故能被6整除
+
-计算勒让德符号即可
-
+ ***
----
+8. 下列选项中正确的是
+
+ A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。
+ B. 1275 是 Carmichael 数。
+ C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
+ D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b)$.
+
+
+ 解：
+ C
+
+ 简单验证即可
+
+
+ ***
+
+9. 模 24 的一个简化剩余系为
+
+ A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$
+ B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$
+ C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
+ D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
+
+
+ 解：
+ C
+
+ 由定义验证即可
+
+
+ ***
+
+10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？
+
+ A. 35
+ B. 36
+ C. 37
+ D. 38
+
+
+ 解：
+ A
+
+ 计算勒让德符号即可
+
+
+***
### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
-> **1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.**
+1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.
-
-解：
-2
+
+ 解：
+ 2
-$13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
-
+ $13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
+
-> **2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.**
+ ***
-
-解：
-4
+2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.
-因为 $(3, 11) = 1$，故 $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$，则 $3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}$
-
+
+ 解：
+ 4
-> **3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.**
+ 因为 $(3, 11) = 1$，故 $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$，则 $3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}$
+
-
-解：
-$x \equiv 7 \pmod{21}$
+ ***
-先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 $17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}$，再变形原方程为 $5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}$，即 $x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}$
-
+3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.
-> **4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.**
+
+ 解：
-
-解：
-$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
-
-进行exgcd即可，算法参见教材第一章
-
+ $x \equiv 7 \pmod{21}$
-> **5. 下面的方程组的解为 ________.**
+ 先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 $17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}$，再变形原方程为 $5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}$，即 $x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}$
-$$ \begin{cases}
-3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
-x - y \equiv 10 \pmod{47}
-\end{cases} $$
+
-
-解：
-$x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
+ ***
-变形后解一元一次同余方程即可
-
+4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.
-> **6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.**
+
+ 解：
-
-解：
--1
+ $s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
-简单计算勒让德符号
-
+ 进行exgcd即可，算法参见教材第一章
+
-> **7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.**
+ ***
-
-解：
-$x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
+5. 下面的方程组的解为 ________.
-做法同3，注意多解
-
+ $$ \begin{cases}
+ 3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
+ x - y \equiv 10 \pmod{47}
+ \end{cases} $$
-> **8. 模 29 的最小正原根为 ________.**
+
+ 解：
-
-解：
-2
+ $x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
-简单检验计算即可
-
+ 变形后解一元一次同余方程即可
+
-> **9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.**
+ ***
-
-解：
-2
+6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.
-做法同2
-
+
+ 解：
+ -1
-> **10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。**
+ 简单计算勒让德符号
+
-
-解：
-0
+ ***
-计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可
-
+7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.
----
+
+ 解：
+
+ $x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
+
+ 做法同3，注意多解
+
+
+ ***
+
+8. 模 29 的最小正原根为 ________.
+
+
+ 解：
+ 2
+
+ 简单检验计算即可
+
+
+ ***
+
+9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.
+
+
+ 解：
+ 2
+
+ 做法同2
+
+
+ ***
+
+10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。
+
+
+ 解：
+ 0
+
+ 计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可
+
+
+***
### 三、计算题（共 25 分）
-> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）**
+1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）
-模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
+ 模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
-| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
-|-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
-| 0 | | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 38| 30|
-| 1 | 8 | 3 | 27| 31| 25| 37| 24| 33| 16| 9 |
-| 2 | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
-| 3 | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
-| 4 | 20| | | | | | | | | |
+ | | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
+ |-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
+ | 0 | | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 38| 30|
+ | 1 | 8 | 3 | 27| 31| 25| 37| 24| 33| 16| 9 |
+ | 2 | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
+ | 3 | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
+ | 4 | 20| | | | | | | | | |
-
-解：
+
+ 解：
-$\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$
-$\therefore\text{方程有5个解}$
-$x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
-查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
-令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$
-则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
-即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
-则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$
-化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$
-故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$
-查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$
+ $\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$
+ $\therefore\text{方程有5个解}$
+ $x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
+ 查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
+ 令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$
+ 则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
+ 即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
+ 则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$
+ 化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$
+ 故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$
+ 查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$
-
+
----
+ ***
-> **2. 计算 Legendre 符号（10 分）**
+2. 计算 Legendre 符号（10 分）
-1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
-2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
+ 1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
+ 2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
-
-解：
+
+ 解：
-勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1
+ 勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1
-
+
----
+***
### 四、证明题（25 分）
-> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**
+1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）
-
-证明：
+
+ 证明：
-要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$
+ 要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$
-一种常见的思路：
-显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$
-所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证
+ 一种常见的思路：
+ 显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$
+ 所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证
-另一种可能性：
-尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证
+ 另一种可能性：
+ 尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证
-
+
-> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**
+ ***
-
-证明：
+2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)
-显然p不为2
+
+ 证明：
-$\because p|n^4+1$
-$\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$
-$\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
-$\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
+ 显然p不为2
-由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余
-$\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$
+ $\because p|n^4+1$
+ $\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$
+ $\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
+ $\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
-又 $\because (n,p)=1$
-$\therefore(\frac{2}{p})=1$
-$\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$
+ 由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余
+ $\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$
-类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$
-分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
-
+ 又 $\because (n,p)=1$
+ $\therefore(\frac{2}{p})=1$
+ $\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$
+
+ 类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$
+ 分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
+