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title: 2024Spring_期末
category:
  - 软件工程学院
  - 课程资料
tag:
  - 试卷
author:
  - タクヤマ
  - KirisameVanilla
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## 华东师范大学期末试卷（A）  

### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）

> **设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是**

A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.  
B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{\mathrm{ord}_m(a)}$.  
C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.  
D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.

> **下列哪个数不是模 11 的原根？**

A. 7  B. 6  C. 4  D. 2

> **9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是**

A. 6  B. 3  C. 2  D. 1

> **设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是**

A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.  
B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.  
C. 若 $b \mid c, c \mid a$，则 $b \mid a$.  
D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.

> **模 40 的简化剩余系中元素的个数为**

A. 16  B. 28  C. 39  D. 40

> **已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$**

A. 136  B. 82  C. 5576  D. 11152

> **7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是**

A. $n(n^2 + 1)$  
B. $n(n^2 - 1)$  
C. $n(n + 1)$  
D. $n(n - 1)$

> **8. 下列选项中正确的是**

A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。  
B. 1275 是 Carmichael 数。  
C. 2047 是对于基 2 的拟素数。

> **9. 模 24 的一个简化剩余系为**

A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 23\}$  
B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 23\}$  
C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$  
D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$

> ** 10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？  

A. 35  B. 36  C. 37  D. 38

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### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.

2. $3865749 \mod 11 =$ ________.

3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.

4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.

5. 下面的方程组的解为 ________.

$$ \begin{cases}
3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
x - y \equiv 10 \pmod{47}
\end{cases} $$  

6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.

7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.

8. 模 29 的最小正原根为 ________.

9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.

10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。

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### 三、计算题（共 25 分）

> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解**

模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：

|     | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0   |   | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 16| 30|
| 1   | 8 | 3 | 27| 31| 23| 37| 24| 33| 16| 9 |
| 2   | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
| 3   | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
| 4   | 20|   |   |   |   |   |   |   |   |   |

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> **2. 计算 Legendre 符号**

1) $\left( \frac{33}{317} \right)$  
2) $\left( \frac{286}{563} \right)$ （10 分）

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### 四、证明题（25 分）

> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**

> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**