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title: 2025-2026学年上学期前计算机科学拔尖基地遴选笔试
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## 一、选择题
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选择题共10道 未展示部分是高考数学排列组合的内容，并且难度低于全国卷高考
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1. 有170多人参加人才培训，其中党员比非党员多三倍，党员中有百分之十的人会分配到包括甲在内的12个队伍中，且每个队伍至少一人。
问：甲队伍中有两个人的概率的范围？
答案
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2. 六人参加面试，并满足以下条件：
- 录取乙 当且仅当 录取丙
- 甲、戊、己 中恰有两人被录取
- 丁 和 丙 恰有一人被录取
- 丁 和 甲 恰有一人被录取
- 甲 和 乙 至少一人被录取
问：最终录取了多少人？
答案
$\text{设甲、乙、丙、丁、戊、己分别为 } a, b, c, d, e, f \in \{0,1\}\text{，}\\$
$\text{其中 } 1 \text{ 表示被录取，} 0 \text{ 表示未被录取。给定条件等价于：}$
$$
\begin{cases}
b = c & \text{(1)} \\
a + e + f = 2 & \text{(2)} \\
d + c = 1 & \text{(3)} \\
d + a = 1 & \text{(4)} \\
a + b \geq 1 & \text{(5)}
\end{cases}
$$
$\text{由 (3) 和 (4) 可得：} d + c = 1,\quad d + a = 1 \implies c = a. \\$
$\text{结合 (1)，得：}a = b = c. \\$
$\text{代入 (5)：} a + b \geq 1 \implies 2a \geq 1. \\$
$\text{由于 } a \in \{0,1\},\text{ 故 } a = 1, \text{ 进而 } b = c = 1. \\$
$\text{由 (4): } d + a = 1 \implies d + 1 = 1 \implies d = 0. \\$
$\text{由 (2): } a + e + f = 2 \implies 1 + e + f = 2 \implies e + f = 1. \\$
$\text{即 } e \text{ 和 } f \text{ 中恰有一个为 } 1. \\$
$\text{综上，被录取者为 } a = 1,\ b = 1,\ c = 1,\ e + f = 1 \implies \text{共 } 4 \text{ 人被录取。}$
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3. (待定)某校食堂发生一起食物中毒案件，现有四人口供：
- 甲：这起事件是由学校食物不合格引起的
- 乙：如果这起事件是由学校食物不合格引起的，那么学校的食物监管出现问题
- 丙：学校食堂食物不合格，但学校的食物监管没有出现问题
- 丁：学校食堂食物合格，但学校食物监管有问题
以上四人中只有一人的话是真的。
选项：
A. 乙为真，但不存在食物监管问题
B. 乙为真，学校的食物监管有问题
C. 甲为真
D. 丁为真
答案
## 二、填空题
1. 一个小猴子边上有100根香蕉，它要走过50米才能到家，每次最多搬50根香蕉（多了就被压死），每走1米就要吃掉一根。
问：它最多能把多少根香蕉搬到家里？
答案
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2. 8个乒乓球，其中一个较重，有一个天平秤。
问：至少几次能够找出重的那个乒乓球？
答案
二分法
1. 分为 4 个的两组, 找出重的那组
2. 分为 2 个的两组, 找出重的那组
3. 两个比较, 拿出重的
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3. 25匹马，5条跑道，找最快的3匹马，需要跑几次？
答案
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4. 有2个鸡蛋，从100层楼上往下扔，测试鸡蛋硬度。 若鸡蛋在第 $n-1$ 层不碎，在第 $n$ 层碎，则临界点为 $n$ 层。
问：在最坏情况下，最小的尝试次数是多少？
答案
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5. 小明是某市集团总裁，每天坐火车回家，司机准时到站接他。 有一天司机晚了30分钟出发，小明没等到车，便步行回家。途中遇到司机的车，立即上车返回家中。到家后，妻子说：“你足足比平常晚到了22分钟。”
问：小明步行了多久？
答案
## 三、简答题
1. 有一枚不均匀的硬币，掷出正面朝上的概率为 70%，反面为 30%。如何高效地构造一个概率为 50% 的公平事件？
答案
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2. 掷一枚均匀的骰子，连续掷出两个6点时，期望的尝试次数是多少？
答案
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3. 随机取三段长度均小于1的线段，这三条线段能组成一个三角形的概率是多少？
答案