注：扫描件中模糊处均不影响做题  

# 一、选择题
## BCBDA CBCCA

# 二、填空题
1. 2  
2. 4
3. $x\equiv7\ (mod\ 11)$
4. $s=47,t=-18,(a,b)=3$
5. $x\equiv11\ (mod\ 47), y\equiv1\ (mod\ 47)$
6. -1
7. $x\equiv2,5,8\ (mod\ 9)$
8. 2
9. 2
10. 0
  
# 三、计算题  
1. $\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$  
   $\therefore\ $方程有5个解  
   \
   $x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$  
   查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
   令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$  
   则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
   即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
   则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$  
   化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$  
   故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$  
   查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$  
2. 勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1  

# 四、证明题  
  
1.要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$  
   一种常见的思路：  
   显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$  
   所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证  
   另一种可能性：
   尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证  
2. 显然p不为2  
  $\because p|n^4+1$  
  $\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$  
  $\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$  
  $\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$  
  由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余  
  $\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$  
  又 $\because (n,p)=1$  
  $\therefore(\frac{2}{p})=1$  
  $\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$  
    
  类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$  
  分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证