**设 $G=\{a,b,c,e\}$ 是一个群， $H=\{a,e\}$ 是 $G$ 的子群，写出 $H$ 的所有左陪集**  
  将 $G$ 中元素 $g$ 各个代入，计算 $gH$：

<ol>
  <li>
    $g = e$:
    $eH =  H$
  </li>

  <li>
    $g = a$:
    $aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}$，由于 $G$ 是群，且 $H$ 是子群，$a^2$ 必须是 $G$ 中的元素。  \\
    故 $a^2 = e$，则：
    $aH = \{ e, a \} = H $
  </li>

  <li> 
    $g = b$:
    $bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \} $
    假设 \( ba = c \)，则：
    $bH = \{ c, b \} $
  </li>

  <li>
    $g = c$:
    $cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \} $
    假设 \( ca = b \)，则：
    $cH = \{ b, c \} $
  </li>
  
</ol>