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title: 2024Fall_期末
category:
- 软件工程学院
- 课程资料
tag:
- 试卷
author:
- タクヤマ
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## 说明
本学期（2024年秋季学期）的期末试卷难度**相当**低，本人评价为有手就行，故没有特意记忆所有题目，而是挑出一些有代表性的题目以供参考
我们这里再提供一道填空题，一道选择题，以显示这张卷子的**诚意**
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设 $G$ 是一个群，对于 $\forall a,b \in G$， $a*b=b*a$， 则 $G$ 是 ____ 群
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设 $R$ 是一个环，对于 $\forall a,b \in R$， $a+b=b+a$， 则 $R$ 是？
A. 整环 B. 交换环 C. 含幺环 D. 环
很大程度上，老师的出题和给分是十分宽容的，请大家好好学习这门课程，**数学并不是妖魔鬼怪！**
## 题目
> **1. 设 $G=\{a,b,c,e\}$ 是一个群， $H=\{a,e\}$ 是 $G$ 的子群，写出 $H$ 的所有左陪集**
解：
将 $G$ 中元素 $g$ 各个代入，计算 $gH$
- $g = e$：
$eH = H$
- $g = a$：
$aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}$，由于 $G$ 是群，且 $H$ 是子群，所以 $a^2$ 必须是 $G$ 中元素。
故 $a^2 = e$，则： $aH = \{ e, a \} = H$
- $g = b$：
$bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}$，
假设 $ba = c$ ，则：
$bH = \{ c, b \}$
- $g = c$：
$cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}$，
假设 $ca = b$ ，则：
$cH = \{ b, c \} = bH$
综上所述，H的所有子陪集是 $\{ e, a \}, \{ b, c \}$
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> **2. 写出 $R=Z/6Z$ 的所有零因子**
解：
$R=Z/6Z \cong Z_6$，我们只要考虑 $Z_6$ 上的性质：
显然有 $2\*3 \equiv 0 \pmod{6}, 4*3 \equiv 0 \pmod{6}$，所以零因子是2，3，4
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> **3. 定义在有限域 $F_{17}$ 上的椭圆曲线 $E: x^3 + 2x + 3 = y^2$ 上有点 $P(2, 7), Q(11, 8)$ , 计算 $P+Q$ , $2P$**
解：
直接计算即可，我们这里直接给出答案： $P+Q = (8, 15)$ , $2P = (14, 15)$
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> **4. 求域 $F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)$的一个生成元 $g(x)$，并用 $g(x)$ 的幂表示 $F_{16}$ 中的所有非零元**
解：
这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 $x$ :
| $x^n$ | $x^n\pmod{x^4+x^3+1}$ |
| -------- | --------------------- |
| $x^0$ | $1$ |
| $x^1$ | $x$ |
| $x^2$ | $x^2$ |
| $x^3$ | $x^3$ |
| $x^4$ | $x^3 + 1$ |
| $x^5$ | $x^3 + x + 1$ |
| $x^6$ | $x^3 + x^2 + x + 1$ |
| $x^7$ | $1 + x^2 + x$ |
| $x^8$ | $x^2 + x + 1$ |
| $x^9$ | $x^3 + x^2 + x$ |
| $x^{10}$ | $x^3 + x^2 + x + 1$ |
| $x^{11}$ | $x^3 + x + 1$ |
| $x^{12}$ | $x^3 + 1$ |
| $x^{13}$ | $x^3$ |
| $x^{14}$ | $x^2$ |
如上表，由 $x$ 生成的15个非零元素互不相等，所以 $x$ 确实是生成元，非零元的表示如表中所示
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> **5. 证明：有限环的特征一定不为0**
证明：请参考课件Chap7.pdf中27-28页