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title: 2025-2026学年上学期期中试卷
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### 一、

1. 计算四阶行列式 $D =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 2 \\
1 & 2 & 0 & -5 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
4 & 3 & 1 & 2
\end{vmatrix}
$
2. 证明$
\begin{vmatrix}
a & b & c & d \\
a & a + b & a + b + c & a + b + c + d \\
a & 2a + b & 3a + 2b + c & 4a + 3b + 2c + d \\
a & 3a + b & 6a + 3b + c & 10a + 6b + 3c + d \\
\end{vmatrix} = a^4
$  

### 二  

1. 计算四阶行列式 $D_4 =
\begin{vmatrix}
a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 & a_4^3 \\
a_1^2b_1 & a_2^2b_2 & a_3^2b_3 & a_4^2b_4 \\
a_1b_1^2 & a_2b_2^2 & a_3b_3^2 & a_4b_4^2 \\
b_1^3 & b_2^3 & b_3^3 & b_4^3
\end{vmatrix}, a_i \not= 0,(i = 1,2,3,4)
$  
2. 计算 $f(x+1) - f(x)$, 其中

$$
f(x) = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x \\
1 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x^2 \\
1 & 3 & 3 & 0 & \cdots & 0 & x^3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & n & C_n^2 & C_n^3 & \cdots & C_n^{n-1} & x^n \\
1 & n + 1 & C_{n+1}^2 & C_{n+1}^3 & \cdots & C_{n+1}^{n-1} & n^{n+1} 
\end{vmatrix}
$$

3. 计算以下 $n+1$ 阶行列式：

$$
D_{n+1} = \begin{vmatrix}
a & ax & ax^2 & \cdots & ax^{n-1} & ax^n \\
-1 & a & ax & \cdots & ax^{n-2} & ax^{n-1} \\
0 & -1 & a & \cdots & ax^{n-1} & ax^{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots &  a & ax \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & a
\end{vmatrix}
$$

### 三

1. 设行列式

$$
D = \begin{vmatrix}
3 & 0 & 4 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 2 \\
0 & -7 & 0 & 0 \\
5 & 3 & -2 & 2
\end{vmatrix}
$$

求 $D$ 的第 $4$ 行元素的余子式之和 $M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}的值。$

2.设$a_1a_2\cdots a_{n-1} \not= 0, n > 1$。试求行列式

$$
D = 
\begin{vmatrix}
x & b_1 & b_2 & \cdots & b_{n-1} \\
1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1}
\end{vmatrix}
$$

的第一行中诸元素的代数余子式之和 $A_{11} + A_{12} + \cdots +A_{1n}$。

### 四

1. 已知齐次线性方程组

$$
\left \{
\begin{aligned}
(3-\lambda)x_1 + x_2 + x_3 &= 0, \\
(2-\lambda)x_2 - x_3 &= 0, \\
4x_1 - 2x_2 + (1-\lambda)x_3 &= 0
\end{aligned}
\right .
$$

有非零解，求$\lambda$的值。

2. 已知 $a^2 \not = b^2$，试证方程组

$$
\left \{
\begin{aligned}
ax_1 + bx_{2n} &= 1, \\
ax_2 + bx_{2n-1} &= 1, \\
\vdots \\
ax_n + bx_{n+1} &= 1, \\
bx_n+ax_{n+1} &= 1, \\
bx_{n-1} + ax_{n+2} &= 1, \\
\vdots \\
bx_1+ax_{2n} &= 1 \\
\end{aligned}
\right .
$$

有唯一解，并求解。

### 五

设 $A = 
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$

1. 求 $A^2$
2. 证 $A$ 可逆，且求 $A^{-1}$
3. 求 $(A^*)^{-1}$

### 六

1. 设 $ABA=C$, 其中 $A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & -1
\end{bmatrix},C =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, 求 $B$ 的伴随矩阵 $B^*$。

2. 已知矩阵 $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$, 且 $AXB = C$, 求矩阵 $X$

### 七

已知 $A$ 为三阶可逆矩阵，$B$ 为三阶矩阵，且满足 $2A^{-1}B=B-4E$。

1. 证明：$(A-2E)$ 为可逆矩阵，且写出 $(A-2E)^{-1}$。
2. 若 $B = \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$, 求矩阵 $A$。

### 八

设$
\left \{
\begin{aligned}
(2-\lambda)x_1+2x_2-2x_3 &= 1 \\
2x_1+(5-\lambda)x_2-4x_3 &= 2 \\
-2x_1-4x_2+(5-\lambda)x_3 &= -\lambda - 1
\end{aligned}
\right .
$
问 $\lambda$ 为何值时，此方程组有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解。

### 九

已知矩阵 $A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}$

1. 求 $A^n(n=2,3,\cdots)$
2. 若方阵$B$满足$A^3+A^2+AB-3A-2E=0$，求$B$