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fix: 修改试卷解析错误

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docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（一）/2023-2024学年下学期期末_含答案.md
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@ -24,8 +24,9 @@ D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
B
B选项不正确。这里应该是条件是充分非必要的，而不是充要条件。
$a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}$
</details> </details>
> **2. 下列哪个数不是模 11 的原根？** > **2. 下列哪个数不是模 11 的原根？**
@ -37,10 +38,9 @@ D. 2
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
C
答案：C
简单验证即可
C选项4不是模11的原根。
</details> </details>
> **3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是** > **3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是**
@ -52,10 +52,9 @@ D. 1
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
B
答案：B
简单计算即可
9模14的指数为3。
</details> </details>
> **4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是** > **4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是**
@ -67,10 +66,9 @@ D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
D
答案：D
例如 $a - b = 3, a + b = 5, c = 15$
D选项不正确。
</details> </details>
> **5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为** > **5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为**
@ -82,10 +80,9 @@ D. 40
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
A
答案：A $\varphi(40) = 16$
$\varphi(40) = 16$。
</details> </details>
> **6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$** > **6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$**
@ -97,10 +94,8 @@ D. 11152
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
C
答案：C 因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$
答案为5576。
</details> </details>
> **7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是** > **7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是**
@ -112,10 +107,9 @@ D. $n(n - 1)$
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
B
答案：B $n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$，因子中必然存在2与3，故能被6整除
$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$ 一定可以被6整除。
</details> </details>
> **8. 下列选项中正确的是** > **8. 下列选项中正确的是**
@ -127,10 +121,9 @@ D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) =
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
C
答案：C 简单验证即可
C选项正确，2047是对于基2的拟素数。
</details> </details>
> **9. 模 24 的一个简化剩余系为** > **9. 模 24 的一个简化剩余系为**
@ -142,10 +135,9 @@ D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
C
答案：C 由定义验证即可
C选项是模24的一个简化剩余系。
</details> </details>
> **10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？** > **10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？**
@ -157,10 +149,9 @@ D. 38
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
A
答案：A 计算勒让德符号即可
A选项35不是模71的二次剩余。
</details> </details>
--- ---
@ -171,40 +162,36 @@ A选项35不是模71的二次剩余。
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
2
答案：2 $13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
$\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
</details> </details>
> **2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.** > **2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.**
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
4
答案：4 因为 $(3, 11) = 1$，故 $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$，则 $3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}$
$3^{865749} \equiv 4 \pmod{11}$
</details> </details>
> **3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.** > **3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.**
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
$x \equiv 7 \pmod{21}$
答案：$x \equiv 7 \pmod{11}$ 先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 $17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}$，再变形原方程为 $5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}$，即 $x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}$
同余方程的解为 $x \equiv 7 \pmod{11}$
</details> </details>
> **4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.** > **4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.**
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
答案：$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$ $s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
进行exgcd即可，算法参见教材第一章
</details> </details>
> **5. 下面的方程组的解为 ________.** > **5. 下面的方程组的解为 ________.**
@ -216,60 +203,54 @@ x - y \equiv 10 \pmod{47}
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
$x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
答案：$x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$ 变形后解一元一次同余方程即可
方程组的解为 $x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
</details> </details>
> **6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.** > **6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.**
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
-1
答案：-1 简单计算勒让德符号
勒让德符号 $\left( \frac{65}{103} \right) = -1$
</details> </details>
> **7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.** > **7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.**
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
$x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
答案：$x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$ 做法同3，注意多解
同余方程的解为 $x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
</details> </details>
> **8. 模 29 的最小正原根为 ________.** > **8. 模 29 的最小正原根为 ________.**
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
2
答案：2 简单检验计算即可
模29的最小正原根为2
</details> </details>
> **9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.** > **9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.**
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
2
答案：2 做法同2
$2^{2002} \equiv 2 \pmod{7}$
</details> </details>
> **10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。** > **10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。**
<details> <details>
<summary>解：</summary> <summary>解：</summary>
0
答案：0 计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可
该同余方程有0个解
</details> </details>
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