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| 2023-2024学年下学期期末_含答案 |
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2023-2024学年下学期期末试卷（A）
一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1. 设
m > 1是整数，(a, m) = 1，则下列选项中不正确的是
A. 若 b \equiv a \pmod{m}，则 \mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a).
B. a^d \equiv a^k \pmod{m} 成立的充要条件是 d \equiv k \pmod{m}.
C. 若 a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}，则 \mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a).
D. 若 \mathrm{ord}_m(a) = st，则 \mathrm{ord}_m(a^s) = t.
解：
Ba^d \equiv a^k \pmod{m} 成立的充要条件是 d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}
2. 下列哪个数不是模 11 的原根？
A. 7
B. 6
C. 4
D. 2
解：
C简单验证即可
3. 9 模 14 的指数
\mathrm{ord}_{14}(9)是
A. 6
B. 3
C. 2
D. 1
解：
B简单计算即可
4. 设
a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0，下列结论不正确的是
A. 若 c \mid a, c \mid b，则 c \mid (a + b).
B. 若 c \mid a，则 c \mid ab.
C. 若 bc \mid ac，则 b \mid a.
D. 若 c \mid (a^2 - b^2)，则 c \mid (a - b) 或 c \mid (a + b).
解：
D例如 a - b = 3, a + b = 5, c = 15
5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为
A. 16
B. 28
C. 39
D. 40
解：
A\varphi(40) = 16
6. 已知
\mathrm{ord}_{137}(47) = 136,\mathrm{ord}_{739}(47) = 82，则\mathrm{ord}_{101243}(47) =
A. 136
B. 82
C. 5576
D. 11152
解：
C 因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$7. 设
n为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是
A. n(n^2 + 1)
B. n(n^2 - 1)
C. n(n + 1)
D. n(n - 1)
解：
Bn(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)，因子中必然存在2与3，故能被6整除
8. 下列选项中正确的是
A. 若 m = 1458，则模 m 的原根不存在。
B. 1275 是 Carmichael 数。
C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
D. 给定整数 m > 1，(a,m) = (b,m) = 1，则 \mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b).
解：
C简单验证即可
9. 模 24 的一个简化剩余系为
A. \{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}
B. \{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}
C. \{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}
D. \{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}
解：
C由定义验证即可
10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？
A. 35
B. 36
C. 37
D. 38
解：
A计算勒让德符号即可
二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 13 模 21 的指数
\mathrm{ord}_{21}(13) =________.
解：
213^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}，故 \mathrm{ord}_{21}(13) = 2
2.
3^{865749} \mod 11 =________.
解：
4因为 (3, 11) = 1，故 3^{10} \equiv 1 \pmod{11}，则 3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}
3. 同余方程
17x \equiv 14 \pmod{21}的解为 ________.
解：
$x \equiv 7 \pmod{21}$先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}，再变形原方程为 5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}，即 x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}
4. 已知
a = 123, b = 321，则有s =________,t =________，使得sa + tb = (a, b) =________.
解：
$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$进行exgcd即可，算法参见教材第一章
5. 下面的方程组的解为 ________.
\begin{cases}
3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
x - y \equiv 10 \pmod{47}
\end{cases} $$
<details>
<summary>解：</summary>
$x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
变形后解一元一次同余方程即可
</details>
> **6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.**
<details>
<summary>解：</summary>
-1
简单计算勒让德符号
</details>
> **7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.**
<details>
<summary>解：</summary>
$x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
做法同3，注意多解
</details>
> **8. 模 29 的最小正原根为 ________.**
<details>
<summary>解：</summary>
2
简单检验计算即可
</details>
> **9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.**
<details>
<summary>解：</summary>
2
做法同2
</details>
> **10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。**
<details>
<summary>解：</summary>
0
计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可
</details>
---
### 三、计算题（共 25 分）
> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）**
模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 38| 30|
| 1 | 8 | 3 | 27| 31| 25| 37| 24| 33| 16| 9 |
| 2 | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
| 3 | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
| 4 | 20| | | | | | | | | |
<details>
<summary>解：</summary>
$\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$
$\therefore\text{方程有5个解}$
$x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$
则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$
化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$
故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$
查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$
</details>
---
> **2. 计算 Legendre 符号（10 分）**
1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
<details>
<summary>解：</summary>
勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1
</details>
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### 四、证明题（25 分）
> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**
<details>
<summary>证明：</summary>
要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$
一种常见的思路：
显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$
所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证
另一种可能性：
尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证
</details>
> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**
<details>
<summary>证明：</summary>
显然p不为2
$\because p|n^4+1$
$\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$
$\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
$\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余
$\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$
又 $\because (n,p)=1$
$\therefore(\frac{2}{p})=1$
$\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$
类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$
分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
</details>