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docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（一）/2023-2024学年下学期期末_含答案.md

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+---
+title: 2023-2024学年下学期期末_含答案
+category:
+  - 软件工程学院
+  - 课程资料
+tag:
+  - 试卷
+author:
+  - タクヤマ
+  - KirisameVanilla
+  - zeyi2
+---
+
+## 2023-2024学年下学期期末试卷（A）  
+
+### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
+
+> **1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是**
+
+A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
+B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.<br>
+C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
+D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+B选项不正确。这里应该是条件是充分非必要的，而不是充要条件。
+</details>
+
+> **2. 下列哪个数不是模 11 的原根？**
+
+A. 7<br>
+B. 6<br>
+C. 4<br>
+D. 2
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：C
+
+C选项4不是模11的原根。
+</details>
+
+> **3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是**
+
+A. 6<br>
+B. 3<br>
+C. 2<br>
+D. 1
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：B
+
+9模14的指数为3。
+</details>
+
+> **4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是**
+
+A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.  
+B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.  
+C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.  
+D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：D
+
+D选项不正确。
+</details>
+
+> **5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为**
+
+A. 16<br>
+B. 28<br>
+C. 39<br>
+D. 40
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：A
+
+$\varphi(40) = 16$。
+</details>
+
+> **6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$**
+
+A. 136<br>
+B. 82<br>
+C. 5576<br>
+D. 11152
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：C
+
+答案为5576。
+</details>
+
+> **7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是**
+
+A. $n(n^2 + 1)$  
+B. $n(n^2 - 1)$  
+C. $n(n + 1)$  
+D. $n(n - 1)$
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：B
+
+$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$ 一定可以被6整除。
+</details>
+
+> **8. 下列选项中正确的是**
+
+A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。  
+B. 1275 是 Carmichael 数。  
+C. 2047 是对于基 2 的拟素数。  
+D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b)$.
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：C
+
+C选项正确，2047是对于基2的拟素数。
+</details>
+
+> **9. 模 24 的一个简化剩余系为**
+
+A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$  
+B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$  
+C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$  
+D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：C
+
+C选项是模24的一个简化剩余系。
+</details>
+
+> **10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？**  
+
+A. 35<br>
+B. 36<br>
+C. 37<br>
+D. 38
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：A
+
+A选项35不是模71的二次剩余。
+</details>
+
+---
+
+### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
+
+> **1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.**
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：2
+
+$\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
+</details>
+
+> **2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.**
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：4
+
+$3^{865749} \equiv 4 \pmod{11}$
+</details>
+
+> **3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.**
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：$x \equiv 7 \pmod{11}$
+
+同余方程的解为 $x \equiv 7 \pmod{11}$
+</details>
+
+> **4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.**
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
+
+$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
+</details>
+
+> **5. 下面的方程组的解为 ________.**
+
+$$ \begin{cases}
+3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
+x - y \equiv 10 \pmod{47}
+\end{cases} $$
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：$x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
+
+方程组的解为 $x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
+</details>
+
+> **6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.**
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：-1
+
+勒让德符号 $\left( \frac{65}{103} \right) = -1$
+</details>
+
+> **7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.**
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：$x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
+
+同余方程的解为 $x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
+</details>
+
+> **8. 模 29 的最小正原根为 ________.**
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：2
+
+模29的最小正原根为2
+</details>
+
+> **9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.**
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：2
+
+$2^{2002} \equiv 2 \pmod{7}$
+</details>
+
+> **10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。**
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+答案：0
+
+该同余方程有0个解
+</details>
+
+---
+
+### 三、计算题（共 25 分）
+
+> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）**
+
+模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
+
+|     | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
+|-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
+| 0   |   | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 38| 30|
+| 1   | 8 | 3 | 27| 31| 25| 37| 24| 33| 16| 9 |
+| 2   | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
+| 3   | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
+| 4   | 20|   |   |   |   |   |   |   |   |   |
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+$\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$  
+$\therefore\text{方程有5个解}$  
+$x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$  
+查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
+令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$  
+则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
+即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
+则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$  
+化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$  
+故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$  
+查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$
+
+</details>
+
+---
+
+> **2. 计算 Legendre 符号（10 分）**
+
+1) $\left( \frac{33}{317} \right)$  
+2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
+
+<details>
+<summary>解：</summary>
+
+勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1
+
+</details>
+
+---
+
+### 四、证明题（25 分）
+
+> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**
+
+<details>
+<summary>证明：</summary>
+
+要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$  
+
+一种常见的思路：  
+显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$  
+所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证  
+
+另一种可能性：  
+尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证
+
+</details>
+
+> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**
+
+<details>
+<summary>证明：</summary>
+
+显然p不为2  
+
+$\because p|n^4+1$  
+$\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$  
+$\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$  
+$\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$  
+
+由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余  
+$\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$  
+
+又 $\because (n,p)=1$  
+$\therefore(\frac{2}{p})=1$  
+$\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$  
+
+类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$  
+分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
+</details>

docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（一）/2024Spring_期末.md

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----
-title: 2024Spring_期末
-category:
-  - 软件工程学院
-  - 课程资料
-tag:
-  - 试卷
-author:
-  - タクヤマ
-  - KirisameVanilla
-  - zeyi2
----
-
-## 华东师范大学期末试卷（A）  
-
-### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
-
-> **1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是**
-
-A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.  
-B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.  
-C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.  
-D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
-
-> **2. 下列哪个数不是模 11 的原根？**
-
-A. 7  B. 6  C. 4  D. 2
-
-> **3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是**
-
-A. 6  B. 3  C. 2  D. 1
-
-> **4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是**
-
-A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.  
-B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.  
-C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.  
-D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
-
-> **5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为**
-
-A. 16  B. 28  C. 39  D. 40
-
-> **6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$**
-
-A. 136  B. 82  C. 5576  D. 11152
-
-> **7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是**
-
-A. $n(n^2 + 1)$  
-B. $n(n^2 - 1)$  
-C. $n(n + 1)$  
-D. $n(n - 1)$
-
-> **8. 下列选项中正确的是**
-
-A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。  
-B. 1275 是 Carmichael 数。  
-C. 2047 是对于基 2 的拟素数。  
-D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b)$.
-
-> **9. 模 24 的一个简化剩余系为**
-
-A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$  
-B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$  
-C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$  
-D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
-
-> **10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？**  
-
-A. 35  B. 36  C. 37  D. 38
-
----
-
-### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
-
-1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.
-
-2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.
-
-3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.
-
-4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.
-
-5. 下面的方程组的解为 ________.
-
-$$ \begin{cases}
-3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
-x - y \equiv 10 \pmod{47}
-\end{cases} $$  
-
-6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.
-
-7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.
-
-8. 模 29 的最小正原根为 ________.
-
-9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.
-
-10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。
-
----
-
-### 三、计算题（共 25 分）
-
-> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）**
-
-模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
-
-|     | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
-|-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
-| 0   |   | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 38| 30|
-| 1   | 8 | 3 | 27| 31| 25| 37| 24| 33| 16| 9 |
-| 2   | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
-| 3   | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
-| 4   | 20|   |   |   |   |   |   |   |   |   |
-
----
-
-> **2. 计算 Legendre 符号（10 分）**
-
-1) $\left( \frac{33}{317} \right)$  
-2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
-
----
-
-### 四、证明题（25 分）
-
-> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**
-
-> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**

docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（一）/index.md

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 ## 资源列表
 
 - [课件 2022级更新 (3-1 到 5)](https://drive.vanillaaaa.org/SharedCourses/%E8%BD%AF%E4%BB%B6%E5%B7%A5%E7%A8%8B%E5%AD%A6%E9%99%A2/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E5%AE%89%E5%85%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A1%80/2022%E7%BA%A7)
-- [2024春学期期末试卷](https://courses.ecnu.vanillaaaa.org/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（一）/2024Spring_期末.html)
+- [2023-2024学年下学期期末试卷](https://courses.ecnu.vanillaaaa.org/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（二）/2023-2024学年下学期期末_含答案.html)
 
 ## 2024Spring
 

docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（一）/期末试卷/手做答案.md

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-注：扫描件中模糊处均不影响做题  
-
-# 一、选择题
-## BCBDA CBCCA
-
-# 二、填空题
-1. 2  
-2. 4
-3. $x\equiv7\ (mod\ 11)$
-4. $s=47,t=-18,(a,b)=3$
-5. $x\equiv11\ (mod\ 47), y\equiv1\ (mod\ 47)$
-6. -1
-7. $x\equiv2,5,8\ (mod\ 9)$
-8. 2
-9. 2
-10. 0
-  
-# 三、计算题  
-1. $\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$  
-   $\therefore\ $方程有5个解  
-   \
-   $x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$  
-   查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
-   令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$  
-   则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
-   即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
-   则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$  
-   化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$  
-   故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$  
-   查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$  
-2. 勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1  
-
-# 四、证明题  
-  
-1.要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$  
-   一种常见的思路：  
-   显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$  
-   所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证  
-   另一种可能性：
-   尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证  
-2. 显然p不为2  
-  $\because p|n^4+1$  
-  $\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$  
-  $\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$  
-  $\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$  
-  由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余  
-  $\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$  
-  又 $\because (n,p)=1$  
-  $\therefore(\frac{2}{p})=1$  
-  $\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$  
-    
-  类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$  
-  分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
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docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（二）/2024-2025学年上学期期末_含答案.md

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-title: 2024Fall_期末_含答案
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docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（二）/index.md

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 - [课件 2022级更新 (6-1 到 9, 商密介绍)](https://drive.vanillaaaa.org/SharedCourses/%E8%BD%AF%E4%BB%B6%E5%B7%A5%E7%A8%8B%E5%AD%A6%E9%99%A2/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E5%AE%89%E5%85%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A1%80/2022%E7%BA%A7)
-- [2024秋学期期末试卷](https://courses.ecnu.vanillaaaa.org/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（二）/2024Fall_期末_含答案.html)
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