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| 2024-2025学年上学期期末_含答案 |
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说明
本学期（2024年秋季学期）的期末试卷难度相当低，本人评价为有手就行，故没有特意记忆所有题目，而是挑出一些有代表性的题目以供参考
我们这里再提供一道填空题，一道选择题，以显示这张卷子的诚意
-
设
G是一个群，对于\forall a,b \in G，a*b=b*a， 则G是 ____ 群 -
设
R是一个环，对于\forall a,b \in R，a+b=b+a， 则R是？
A. 整环 B. 交换环 C. 含幺环 D. 环
很大程度上，老师的出题和给分是十分宽容的，请大家好好学习这门课程，数学并不是妖魔鬼怪！
题目
1. 设
G=\{a,b,c,e\}是一个群，H=\{a,e\}是G的子群，写出H的所有左陪集
解：
将 G 中元素 g 各个代入，计算 gH
-
g = e：eH = H -
g = a：aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}，由于G是群，且H是子群，所以a^2必须是G中元素。 故a^2 = e，则：aH = \{ e, a \} = H -
g = b：bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}， 假设ba = c，则：bH = \{ c, b \} -
g = c：cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}， 假设ca = b，则：cH = \{ b, c \} = bH
综上所述，H的所有子陪集是 \{ e, a \}, \{ b, c \}
2. 写出
R=Z/6Z的所有零因子
解：
R=Z/6Z \cong Z_6，我们只要考虑 Z_6 上的性质：
显然有 2\*3 \equiv 0 \pmod{6}, 4*3 \equiv 0 \pmod{6}，所以零因子是2，3，4
3. 定义在有限域
F_{17}上的椭圆曲线E: x^3 + 2x + 3 = y^2上有点P(2, 7), Q(11, 8), 计算P+Q,2P
解：
直接计算即可，我们这里直接给出答案： P+Q = (8, 15) , 2P = (14, 15)
4. 求域
F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)的一个生成元g(x)，并用g(x)的幂表示F_{16}中的所有非零元
解：
这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 x :
x^n |
x^n\pmod{x^4+x^3+1} |
|---|---|
x^0 |
1 |
x^1 |
x |
x^2 |
x^2 |
x^3 |
x^3 |
x^4 |
x^3 + 1 |
x^5 |
x^3 + x + 1 |
x^6 |
x^3 + x^2 + x + 1 |
x^7 |
1 + x^2 + x |
x^8 |
x^2 + x + 1 |
x^9 |
x^3 + x^2 + x |
x^{10} |
x^3 + x^2 + x + 1 |
x^{11} |
x^3 + x + 1 |
x^{12} |
x^3 + 1 |
x^{13} |
x^3 |
x^{14} |
x^2 |
如上表，由 x 生成的15个非零元素互不相等，所以 x 确实是生成元，非零元的表示如表中所示
5. 证明：有限环的特征一定不为0
证明：请参考课件Chap7.pdf中27-28页