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信息安全数学基础（一）/期末试卷/手做答案.md

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-# 三、计算题
+# 三、计算题  
+1. $\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$  
+   $\therefore\ $方程有5个解  
+   \
+   $x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$  
+   查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
+   令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$  
+   则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
+   即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$  
+   则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$  
+   化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$  
+   故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$  
+   查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$  
+2. 勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1  
+
+# 四、证明题  
+1. 要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$  
+   一种常见的思路：  
+   显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$  
+   所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证  
+   另一种可能性：
+   尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证