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信息安全数学基础（一）/期末试卷/手做答案.md

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 2. 勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1  
 
 # 四、证明题  
-1. 要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$  
+  
+1.要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$  
    一种常见的思路：  
    显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$  
    所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证  
    另一种可能性：
    尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证  
+2. 显然p不为2  
+  $\because p|n^4+1$  
+  $\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$  
+  $\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$  
+  $\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$  
+  由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余  
+  $\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$  
+  又 $\because (n,p)=1$  
+  $\therefore(\frac{2}{p})=1$  
+  $\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$  
+    
+  类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$  
+  分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
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