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@ -30,94 +30,94 @@ author:
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## 题目
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## 题目
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> **1. 设 $G=\{a,b,c,e\}$ 是一个群， $H=\{a,e\}$ 是 $G$ 的子群，写出 $H$ 的所有左陪集**
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1. 设 $G=\{a,b,c,e\}$ 是一个群， $H=\{a,e\}$ 是 $G$ 的子群，写出 $H$ 的所有左陪集
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<summary>解：</summary>
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<summary>解：</summary>
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将 $G$ 中元素 $g$ 各个代入，计算 $gH$
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将 $G$ 中元素 $g$ 各个代入，计算 $gH$
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- $g = e$：
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- $g = e$：
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$eH = H$
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$eH = H$
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- $g = a$：
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$aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}$，由于 $G$ 是群，且 $H$ 是子群，所以 $a^2$ 必须是 $G$ 中元素。
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故 $a^2 = e$，则： $aH = \{ e, a \} = H$
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- $g = b$：
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$bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}$，
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假设 $ba = c$ ，则：
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$bH = \{ c, b \}$
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- $g = c$：
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$cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}$，
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假设 $ca = b$ ，则：
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$cH = \{ b, c \} = bH$
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综上所述，H的所有子陪集是 $\{ e, a \}, \{ b, c \}$
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- $g = a$：
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$aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}$，由于 $G$ 是群，且 $H$ 是子群，所以 $a^2$ 必须是 $G$ 中元素。
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故 $a^2 = e$，则： $aH = \{ e, a \} = H$
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- $g = b$：
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$bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}$，
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假设 $ba = c$ ，则：
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$bH = \{ c, b \}$
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- $g = c$：
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$cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}$，
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假设 $ca = b$ ，则：
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$cH = \{ b, c \} = bH$
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> **2. 写出 $R=Z/6Z$ 的所有零因子**
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综上所述，H的所有子陪集是 $\{ e, a \}, \{ b, c \}$
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<summary>解：</summary>
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$R=Z/6Z \cong Z_6$，我们只要考虑 $Z_6$ 上的性质：
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2. 写出 $R=Z/6Z$ 的所有零因子
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显然有 $2\*3 \equiv 0 \pmod{6}, 4*3 \equiv 0 \pmod{6}$，所以零因子是2，3，4
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<summary>解：</summary>
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> **3. 定义在有限域 $F_{17}$ 上的椭圆曲线 $E: x^3 + 2x + 3 = y^2$ 上有点 $P(2, 7), Q(11, 8)$ , 计算 $P+Q$ , $2P$**
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$R=Z/6Z \cong Z_6$，我们只要考虑 $Z_6$ 上的性质：
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显然有 $2\times3 \equiv 0 \pmod{6}, 4\times3 \equiv 0 \pmod{6}$，所以零因子是2，3，4
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<summary>解：</summary>
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直接计算即可，我们这里直接给出答案： $P+Q = (8, 15)$ , $2P = (14, 15)$
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3. 定义在有限域 $F_{17}$ 上的椭圆曲线 $E: x^3 + 2x + 3 = y^2$ 上有点 $P(2, 7), Q(11, 8)$ , 计算 $P+Q$ , $2P$
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<summary>解：</summary>
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> **4. 求域 $F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)$的一个生成元 $g(x)$，并用 $g(x)$ 的幂表示 $F_{16}$ 中的所有非零元**
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直接计算即可，我们这里直接给出答案： $P+Q = (8, 15)$ , $2P = (14, 15)$
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<summary>解：</summary>
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这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 $x$ :
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4. 求域 $F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)$的一个生成元 $g(x)$，并用 $g(x)$ 的幂表示 $F_{16}$ 中的所有非零元
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| $x^n$ | $x^n\pmod{x^4+x^3+1}$ |
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| -------- | --------------------- |
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| $x^0$ | $1$ |
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| $x^1$ | $x$ |
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| $x^2$ | $x^2$ |
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| $x^3$ | $x^3$ |
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| $x^4$ | $x^3 + 1$ |
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| $x^5$ | $x^3 + x + 1$ |
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| $x^6$ | $x^3 + x^2 + x + 1$ |
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| $x^7$ | $1 + x^2 + x$ |
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| $x^8$ | $x^2 + x + 1$ |
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| $x^9$ | $x^3 + x^2 + x$ |
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| $x^{10}$ | $x^3 + x^2 + x + 1$ |
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| $x^{11}$ | $x^3 + x + 1$ |
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| $x^{12}$ | $x^3 + 1$ |
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| $x^{13}$ | $x^3$ |
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| $x^{14}$ | $x^2$ |
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如上表，由 $x$ 生成的15个非零元素互不相等，所以 $x$ 确实是生成元，非零元的表示如表中所示
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<summary>解：</summary>
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这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 $x$ :
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| $x^n$ | $x^n\pmod{x^4+x^3+1}$ |
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| $x^0$ | $1$ |
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| $x^1$ | $x$ |
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| $x^2$ | $x^2$ |
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| $x^3$ | $x^3$ |
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| $x^4$ | $x^3 + 1$ |
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| $x^5$ | $x^3 + x + 1$ |
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| $x^6$ | $x^3 + x^2 + x + 1$ |
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| $x^7$ | $1 + x^2 + x$ |
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| $x^8$ | $x^2 + x + 1$ |
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| $x^9$ | $x^3 + x^2 + x$ |
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| $x^{10}$ | $x^3 + x^2 + x + 1$ |
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| $x^{11}$ | $x^3 + x + 1$ |
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| $x^{12}$ | $x^3 + 1$ |
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| $x^{13}$ | $x^3$ |
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| $x^{14}$ | $x^2$ |
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> **5. 证明：有限环的特征一定不为0**
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如上表，由 $x$ 生成的15个非零元素互不相等，所以 $x$ 确实是生成元，非零元的表示如表中所示
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证明：请参考课件Chap7.pdf中27-28页
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5. 证明：有限环的特征一定不为0
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请参考课件Chap7.pdf中27-28页
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