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docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（二）/2024-2025学年上学期期末_含答案.md

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 ## 题目
 
-> **1. 设 $G=\{a,b,c,e\}$ 是一个群， $H=\{a,e\}$ 是 $G$ 的子群，写出 $H$ 的所有左陪集**
+1. 设 $G=\{a,b,c,e\}$ 是一个群， $H=\{a,e\}$ 是 $G$ 的子群，写出 $H$ 的所有左陪集
 
-<details>
+    <details>
 
-<summary>解：</summary>
+    <summary>解：</summary>
 
-将 $G$ 中元素 $g$ 各个代入，计算 $gH$  
+    将 $G$ 中元素 $g$ 各个代入，计算 $gH$  
 
-- $g = e$：
+    - $g = e$：
         $eH = H$
 
-- $g = a$：
+    - $g = a$：
         $aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}$，由于 $G$ 是群，且 $H$ 是子群，所以 $a^2$ 必须是 $G$ 中元素。
         故 $a^2 = e$，则： $aH = \{ e, a \} = H$
 
-- $g = b$：
+    - $g = b$：
         $bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}$，
         假设 $ba = c$ ，则：
         $bH = \{ c, b \}$
 
-- $g = c$：
+    - $g = c$：
         $cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}$，
         假设 $ca = b$ ，则：
         $cH = \{ b, c \} = bH$  
 
-综上所述，H的所有子陪集是 $\{ e, a \}, \{ b, c \}$
+    综上所述，H的所有子陪集是 $\{ e, a \}, \{ b, c \}$
 
-</details>
+    </details>
 
-***
+    ***
 
-> **2. 写出 $R=Z/6Z$ 的所有零因子**
+2. 写出 $R=Z/6Z$ 的所有零因子
 
-<details>
+    <details>
 
-<summary>解：</summary>
+    <summary>解：</summary>
 
       $R=Z/6Z \cong Z_6$，我们只要考虑 $Z_6$ 上的性质：
-  显然有 $2\*3 \equiv 0 \pmod{6}, 4*3 \equiv 0 \pmod{6}$，所以零因子是2，3，4
+      显然有 $2\times3 \equiv 0 \pmod{6}, 4\times3 \equiv 0 \pmod{6}$，所以零因子是2，3，4
 
-</details>
+    </details>
 
-***
+    ***
 
-> **3. 定义在有限域 $F_{17}$ 上的椭圆曲线 $E: x^3 + 2x + 3 = y^2$ 上有点 $P(2, 7), Q(11, 8)$ , 计算 $P+Q$ , $2P$**
+3. 定义在有限域 $F_{17}$ 上的椭圆曲线 $E: x^3 + 2x + 3 = y^2$ 上有点 $P(2, 7), Q(11, 8)$ , 计算 $P+Q$ , $2P$
 
-<details>
+    <details>
 
-<summary>解：</summary>
+    <summary>解：</summary>
 
       直接计算即可，我们这里直接给出答案： $P+Q = (8, 15)$ , $2P = (14, 15)$
 
-</details>
+    </details>
 
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-> **4. 求域 $F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)$的一个生成元 $g(x)$，并用 $g(x)$ 的幂表示 $F_{16}$ 中的所有非零元**
+4. 求域 $F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)$的一个生成元 $g(x)$，并用 $g(x)$ 的幂表示 $F_{16}$ 中的所有非零元
 
-<details>
+    <details>
 
-<summary>解：</summary>
+    <summary>解：</summary>
 
       这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 $x$ :
 
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       | $x^{13}$ | $x^3$                 |
       | $x^{14}$ | $x^2$                 |
 
-如上表，由 $x$ 生成的15个非零元素互不相等，所以 $x$ 确实是生成元，非零元的表示如表中所示
+    如上表，由 $x$ 生成的15个非零元素互不相等，所以 $x$ 确实是生成元，非零元的表示如表中所示
 
-</details>
+    </details>
 
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-> **5. 证明：有限环的特征一定不为0**
+5. 证明：有限环的特征一定不为0
 
-证明：请参考课件Chap7.pdf中27-28页
+    请参考课件Chap7.pdf中27-28页