fix: format
This commit is contained in:
parent
477becc3a1
commit
fff22138d0
|
|
@ -15,330 +15,374 @@ author:
|
||||||
|
|
||||||
### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
|
### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
|
||||||
|
|
||||||
> **1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是**
|
1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是
|
||||||
|
|
||||||
A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
|
A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
|
||||||
B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.<br>
|
B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.<br>
|
||||||
C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
|
C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
|
||||||
D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
|
D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
<details>
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
B
|
B
|
||||||
|
|
||||||
$a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}$
|
$a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}$
|
||||||
</details>
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
> **2. 下列哪个数不是模 11 的原根？**
|
***
|
||||||
|
|
||||||
A. 7<br>
|
2. 下列哪个数不是模 11 的原根？
|
||||||
B. 6<br>
|
|
||||||
C. 4<br>
|
|
||||||
D. 2
|
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
A. 7<br>
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
B. 6<br>
|
||||||
C
|
C. 4<br>
|
||||||
|
D. 2
|
||||||
|
|
||||||
简单验证即可
|
<details>
|
||||||
</details>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
C
|
||||||
|
|
||||||
> **3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是**
|
简单验证即可
|
||||||
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
A. 6<br>
|
***
|
||||||
B. 3<br>
|
|
||||||
C. 2<br>
|
|
||||||
D. 1
|
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
|
||||||
B
|
|
||||||
|
|
||||||
简单计算即可
|
A. 6<br>
|
||||||
</details>
|
B. 3<br>
|
||||||
|
C. 2<br>
|
||||||
|
D. 1
|
||||||
|
|
||||||
> **4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是**
|
<details>
|
||||||
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
B
|
||||||
|
|
||||||
A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.
|
简单计算即可
|
||||||
B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.
|
</details>
|
||||||
C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.
|
|
||||||
D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
|
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
***
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
|
||||||
D
|
|
||||||
|
|
||||||
例如 $a - b = 3, a + b = 5, c = 15$
|
4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是
|
||||||
</details>
|
|
||||||
|
|
||||||
> **5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为**
|
A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.
|
||||||
|
B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.
|
||||||
|
C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.
|
||||||
|
D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
|
||||||
|
|
||||||
A. 16<br>
|
<details>
|
||||||
B. 28<br>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
C. 39<br>
|
D
|
||||||
D. 40
|
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
例如 $a - b = 3, a + b = 5, c = 15$
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
</details>
|
||||||
A
|
|
||||||
|
|
||||||
$\varphi(40) = 16$
|
***
|
||||||
</details>
|
|
||||||
|
|
||||||
> **6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$**
|
5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为
|
||||||
|
|
||||||
A. 136<br>
|
A. 16<br>
|
||||||
B. 82<br>
|
B. 28<br>
|
||||||
C. 5576<br>
|
C. 39<br>
|
||||||
D. 11152
|
D. 40
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
<details>
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
C
|
A
|
||||||
因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$
|
|
||||||
</details>
|
|
||||||
|
|
||||||
> **7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是**
|
$\varphi(40) = 16$
|
||||||
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
A. $n(n^2 + 1)$
|
***
|
||||||
B. $n(n^2 - 1)$
|
|
||||||
C. $n(n + 1)$
|
|
||||||
D. $n(n - 1)$
|
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
|
||||||
B
|
|
||||||
|
|
||||||
$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$，因子中必然存在2与3，故能被6整除
|
A. 136<br>
|
||||||
</details>
|
B. 82<br>
|
||||||
|
C. 5576<br>
|
||||||
|
D. 11152
|
||||||
|
|
||||||
> **8. 下列选项中正确的是**
|
<details>
|
||||||
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
C
|
||||||
|
|
||||||
A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。
|
因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$
|
||||||
B. 1275 是 Carmichael 数。
|
</details>
|
||||||
C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
|
|
||||||
D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b)$.
|
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
***
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
|
||||||
C
|
|
||||||
|
|
||||||
简单验证即可
|
7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是
|
||||||
</details>
|
|
||||||
|
|
||||||
> **9. 模 24 的一个简化剩余系为**
|
A. $n(n^2 + 1)$
|
||||||
|
B. $n(n^2 - 1)$
|
||||||
|
C. $n(n + 1)$
|
||||||
|
D. $n(n - 1)$
|
||||||
|
|
||||||
A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$
|
<details>
|
||||||
B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
|
B
|
||||||
D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
|
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$，因子中必然存在2与3，故能被6整除
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
</details>
|
||||||
C
|
|
||||||
|
|
||||||
由定义验证即可
|
***
|
||||||
</details>
|
|
||||||
|
|
||||||
> **10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？**
|
8. 下列选项中正确的是
|
||||||
|
|
||||||
A. 35<br>
|
A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。
|
||||||
B. 36<br>
|
B. 1275 是 Carmichael 数。
|
||||||
C. 37<br>
|
C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
|
||||||
D. 38
|
D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b)$.
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
<details>
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
A
|
C
|
||||||
|
|
||||||
计算勒让德符号即可
|
简单验证即可
|
||||||
</details>
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
---
|
***
|
||||||
|
|
||||||
|
9. 模 24 的一个简化剩余系为
|
||||||
|
|
||||||
|
A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$
|
||||||
|
B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$
|
||||||
|
C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
|
||||||
|
D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
|
||||||
|
|
||||||
|
<details>
|
||||||
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
C
|
||||||
|
|
||||||
|
由定义验证即可
|
||||||
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
|
***
|
||||||
|
|
||||||
|
10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？
|
||||||
|
|
||||||
|
A. 35<br>
|
||||||
|
B. 36<br>
|
||||||
|
C. 37<br>
|
||||||
|
D. 38
|
||||||
|
|
||||||
|
<details>
|
||||||
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
A
|
||||||
|
|
||||||
|
计算勒让德符号即可
|
||||||
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
|
***
|
||||||
|
|
||||||
### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
|
### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
|
||||||
|
|
||||||
> **1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.**
|
1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
<details>
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
2
|
2
|
||||||
|
|
||||||
$13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
|
$13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
|
||||||
</details>
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
> **2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.**
|
***
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
|
||||||
4
|
|
||||||
|
|
||||||
因为 $(3, 11) = 1$，故 $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$，则 $3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}$
|
<details>
|
||||||
</details>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
4
|
||||||
|
|
||||||
> **3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.**
|
因为 $(3, 11) = 1$，故 $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$，则 $3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}$
|
||||||
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
***
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
|
||||||
$x \equiv 7 \pmod{21}$
|
|
||||||
|
|
||||||
先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 $17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}$，再变形原方程为 $5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}$，即 $x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}$
|
3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.
|
||||||
</details>
|
|
||||||
|
|
||||||
> **4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.**
|
<details>
|
||||||
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
$x \equiv 7 \pmod{21}$
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
|
||||||
$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
|
|
||||||
|
|
||||||
进行exgcd即可，算法参见教材第一章
|
先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 $17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}$，再变形原方程为 $5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}$，即 $x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}$
|
||||||
</details>
|
|
||||||
|
|
||||||
> **5. 下面的方程组的解为 ________.**
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
$$ \begin{cases}
|
***
|
||||||
3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
|
|
||||||
x - y \equiv 10 \pmod{47}
|
|
||||||
\end{cases} $$
|
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
|
||||||
$x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
|
|
||||||
|
|
||||||
变形后解一元一次同余方程即可
|
<details>
|
||||||
</details>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
|
||||||
> **6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.**
|
$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
进行exgcd即可，算法参见教材第一章
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
</details>
|
||||||
-1
|
|
||||||
|
|
||||||
简单计算勒让德符号
|
***
|
||||||
</details>
|
|
||||||
|
|
||||||
> **7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.**
|
5. 下面的方程组的解为 ________.
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
$$ \begin{cases}
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
|
||||||
$x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
|
x - y \equiv 10 \pmod{47}
|
||||||
|
\end{cases} $$
|
||||||
|
|
||||||
做法同3，注意多解
|
<details>
|
||||||
</details>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
|
||||||
> **8. 模 29 的最小正原根为 ________.**
|
$x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
变形后解一元一次同余方程即可
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
</details>
|
||||||
2
|
|
||||||
|
|
||||||
简单检验计算即可
|
***
|
||||||
</details>
|
|
||||||
|
|
||||||
> **9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.**
|
6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
<details>
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
2
|
-1
|
||||||
|
|
||||||
做法同2
|
简单计算勒让德符号
|
||||||
</details>
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
> **10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。**
|
***
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
|
||||||
0
|
|
||||||
|
|
||||||
计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可
|
<details>
|
||||||
</details>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
|
||||||
---
|
$x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
|
||||||
|
|
||||||
|
做法同3，注意多解
|
||||||
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
|
***
|
||||||
|
|
||||||
|
8. 模 29 的最小正原根为 ________.
|
||||||
|
|
||||||
|
<details>
|
||||||
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
2
|
||||||
|
|
||||||
|
简单检验计算即可
|
||||||
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
|
***
|
||||||
|
|
||||||
|
9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.
|
||||||
|
|
||||||
|
<details>
|
||||||
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
2
|
||||||
|
|
||||||
|
做法同2
|
||||||
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
|
***
|
||||||
|
|
||||||
|
10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。
|
||||||
|
|
||||||
|
<details>
|
||||||
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
0
|
||||||
|
|
||||||
|
计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可
|
||||||
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
|
***
|
||||||
|
|
||||||
### 三、计算题（共 25 分）
|
### 三、计算题（共 25 分）
|
||||||
|
|
||||||
> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）**
|
1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）
|
||||||
|
|
||||||
模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
|
模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
|
||||||
|
|
||||||
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|
||||||
|-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
||||||
| 0 | | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 38| 30|
|
| 0 | | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 38| 30|
|
||||||
| 1 | 8 | 3 | 27| 31| 25| 37| 24| 33| 16| 9 |
|
| 1 | 8 | 3 | 27| 31| 25| 37| 24| 33| 16| 9 |
|
||||||
| 2 | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
|
| 2 | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
|
||||||
| 3 | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
|
| 3 | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
|
||||||
| 4 | 20| | | | | | | | | |
|
| 4 | 20| | | | | | | | | |
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
<details>
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
|
||||||
$\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$
|
$\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$
|
||||||
$\therefore\text{方程有5个解}$
|
$\therefore\text{方程有5个解}$
|
||||||
$x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
|
$x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
|
||||||
查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
|
查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
|
||||||
令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$
|
令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$
|
||||||
则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
|
则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
|
||||||
即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
|
即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
|
||||||
则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$
|
则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$
|
||||||
化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$
|
化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$
|
||||||
故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$
|
故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$
|
||||||
查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$
|
查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$
|
||||||
|
|
||||||
</details>
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
---
|
***
|
||||||
|
|
||||||
> **2. 计算 Legendre 符号（10 分）**
|
2. 计算 Legendre 符号（10 分）
|
||||||
|
|
||||||
1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
|
1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
|
||||||
2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
|
2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
<details>
|
||||||
<summary>解：</summary>
|
<summary>解：</summary>
|
||||||
|
|
||||||
勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1
|
勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1
|
||||||
|
|
||||||
</details>
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
---
|
***
|
||||||
|
|
||||||
### 四、证明题（25 分）
|
### 四、证明题（25 分）
|
||||||
|
|
||||||
> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**
|
1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
<details>
|
||||||
<summary>证明：</summary>
|
<summary>证明：</summary>
|
||||||
|
|
||||||
要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$
|
要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$
|
||||||
|
|
||||||
一种常见的思路：
|
一种常见的思路：
|
||||||
显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$
|
显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$
|
||||||
所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证
|
所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证
|
||||||
|
|
||||||
另一种可能性：
|
另一种可能性：
|
||||||
尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证
|
尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证
|
||||||
|
|
||||||
</details>
|
</details>
|
||||||
|
|
||||||
> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**
|
***
|
||||||
|
|
||||||
<details>
|
2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)
|
||||||
<summary>证明：</summary>
|
|
||||||
|
|
||||||
显然p不为2
|
<details>
|
||||||
|
<summary>证明：</summary>
|
||||||
|
|
||||||
$\because p|n^4+1$
|
显然p不为2
|
||||||
$\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$
|
|
||||||
$\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
|
|
||||||
$\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
|
|
||||||
|
|
||||||
由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余
|
$\because p|n^4+1$
|
||||||
$\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$
|
$\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$
|
||||||
|
$\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
|
||||||
|
$\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
|
||||||
|
|
||||||
又 $\because (n,p)=1$
|
由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余
|
||||||
$\therefore(\frac{2}{p})=1$
|
$\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$
|
||||||
$\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$
|
|
||||||
|
|
||||||
类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$
|
又 $\because (n,p)=1$
|
||||||
分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
|
$\therefore(\frac{2}{p})=1$
|
||||||
</details>
|
$\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$
|
||||||
|
|
||||||
|
类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$
|
||||||
|
分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
|
||||||
|
</details>
|
||||||
|
|
|
||||||
Loading…
Reference in New Issue