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477becc3a1
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fff22138d0
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@ -15,330 +15,374 @@ author:
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### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
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### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
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> **1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是**
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1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是
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A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
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A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
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B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.<br>
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B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.<br>
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C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
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C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
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D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
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D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
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<details>
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<details>
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<summary>解：</summary>
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<summary>解：</summary>
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B
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B
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$a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}$
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</details>
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> **2. 下列哪个数不是模 11 的原根？**
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$a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}$
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</details>
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A. 7<br>
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***
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B. 6<br>
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C. 4<br>
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D. 2
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<details>
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2. 下列哪个数不是模 11 的原根？
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<summary>解：</summary>
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C
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简单验证即可
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</details>
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> **3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是**
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A. 7<br>
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B. 6<br>
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C. 4<br>
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D. 2
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A. 6<br>
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<details>
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B. 3<br>
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<summary>解：</summary>
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C. 2<br>
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C
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D. 1
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<details>
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简单验证即可
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<summary>解：</summary>
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</details>
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B
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简单计算即可
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</details>
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> **4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是**
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***
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A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.
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3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是
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B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.
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C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.
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D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
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<details>
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A. 6<br>
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<summary>解：</summary>
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B. 3<br>
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D
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C. 2<br>
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D. 1
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例如 $a - b = 3, a + b = 5, c = 15$
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</details>
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> **5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为**
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<details>
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<summary>解：</summary>
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B
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A. 16<br>
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简单计算即可
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B. 28<br>
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</details>
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C. 39<br>
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D. 40
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<details>
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***
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<summary>解：</summary>
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A
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$\varphi(40) = 16$
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4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是
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</details>
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> **6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$**
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A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.
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B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.
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|
C. 若 $bc \mid ac$，则 $b \mid a$.
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D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
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A. 136<br>
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<details>
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B. 82<br>
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<summary>解：</summary>
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C. 5576<br>
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D
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D. 11152
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<details>
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例如 $a - b = 3, a + b = 5, c = 15$
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<summary>解：</summary>
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</details>
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||||||
C
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因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$
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</details>
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> **7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是**
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***
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A. $n(n^2 + 1)$
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5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为
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B. $n(n^2 - 1)$
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C. $n(n + 1)$
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||||||
D. $n(n - 1)$
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<details>
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A. 16<br>
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<summary>解：</summary>
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B. 28<br>
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B
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C. 39<br>
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D. 40
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$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$，因子中必然存在2与3，故能被6整除
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<details>
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</details>
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<summary>解：</summary>
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A
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> **8. 下列选项中正确的是**
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$\varphi(40) = 16$
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</details>
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A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。
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***
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||||||
B. 1275 是 Carmichael 数。
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C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
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D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b)$.
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<details>
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6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$
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<summary>解：</summary>
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||||||
C
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简单验证即可
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A. 136<br>
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</details>
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B. 82<br>
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C. 5576<br>
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D. 11152
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||||||
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||||||
> **9. 模 24 的一个简化剩余系为**
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<details>
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<summary>解：</summary>
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C
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A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$
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因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$
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||||||
B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$
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</details>
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||||||
C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
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D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
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<details>
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***
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<summary>解：</summary>
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C
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由定义验证即可
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7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是
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</details>
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> **10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？**
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A. $n(n^2 + 1)$
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B. $n(n^2 - 1)$
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C. $n(n + 1)$
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D. $n(n - 1)$
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A. 35<br>
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<details>
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B. 36<br>
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<summary>解：</summary>
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C. 37<br>
|
B
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D. 38
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<details>
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$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$，因子中必然存在2与3，故能被6整除
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<summary>解：</summary>
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</details>
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A
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计算勒让德符号即可
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***
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</details>
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8. 下列选项中正确的是
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A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。
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B. 1275 是 Carmichael 数。
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C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
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|
D. 给定整数 $m > 1$，$(a,m) = (b,m) = 1$，则 $\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b)$.
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<details>
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<summary>解：</summary>
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C
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简单验证即可
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</details>
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***
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9. 模 24 的一个简化剩余系为
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A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$
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B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$
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C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
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D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
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<details>
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<summary>解：</summary>
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C
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由定义验证即可
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</details>
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10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？
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A. 35<br>
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B. 36<br>
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C. 37<br>
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D. 38
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<details>
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<summary>解：</summary>
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A
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计算勒让德符号即可
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</details>
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### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
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### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
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> **1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.**
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1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.
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<details>
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<details>
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<summary>解：</summary>
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<summary>解：</summary>
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2
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2
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$13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
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$13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
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</details>
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</details>
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> **2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.**
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***
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<details>
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2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.
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<summary>解：</summary>
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4
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||||||
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||||||
因为 $(3, 11) = 1$，故 $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$，则 $3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}$
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<details>
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||||||
</details>
|
<summary>解：</summary>
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||||||
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4
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||||||
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> **3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.**
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因为 $(3, 11) = 1$，故 $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$，则 $3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}$
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||||||
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</details>
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||||||
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<details>
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***
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<summary>解：</summary>
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$x \equiv 7 \pmod{21}$
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||||||
先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 $17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}$，再变形原方程为 $5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}$，即 $x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}$
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3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.
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</details>
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||||||
> **4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.**
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<details>
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<summary>解：</summary>
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<details>
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$x \equiv 7 \pmod{21}$
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<summary>解：</summary>
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$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
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||||||
进行exgcd即可，算法参见教材第一章
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</details>
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||||||
> **5. 下面的方程组的解为 ________.**
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先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 $17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}$，再变形原方程为 $5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}$，即 $x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}$
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||||||
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||||||
$$ \begin{cases}
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</details>
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||||||
3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
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||||||
x - y \equiv 10 \pmod{47}
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||||||
\end{cases} $$
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||||||
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||||||
<details>
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***
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||||||
<summary>解：</summary>
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||||||
$x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
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||||||
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||||||
变形后解一元一次同余方程即可
|
4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.
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||||||
</details>
|
|
||||||
|
|
||||||
> **6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.**
|
<details>
|
||||||
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<summary>解：</summary>
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||||||
|
|
||||||
<details>
|
$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
|
||||||
<summary>解：</summary>
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-1
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||||||
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简单计算勒让德符号
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进行exgcd即可，算法参见教材第一章
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</details>
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</details>
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||||||
> **7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.**
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***
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||||||
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||||||
<details>
|
5. 下面的方程组的解为 ________.
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||||||
<summary>解：</summary>
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$x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
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||||||
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||||||
做法同3，注意多解
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$$ \begin{cases}
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||||||
</details>
|
3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
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||||||
|
x - y \equiv 10 \pmod{47}
|
||||||
|
\end{cases} $$
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||||||
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|
||||||
> **8. 模 29 的最小正原根为 ________.**
|
<details>
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||||||
|
<summary>解：</summary>
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||||||
|
|
||||||
<details>
|
$x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
|
||||||
<summary>解：</summary>
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||||||
2
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||||||
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||||||
简单检验计算即可
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变形后解一元一次同余方程即可
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</details>
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</details>
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||||||
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||||||
> **9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.**
|
***
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||||||
|
|
||||||
<details>
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6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.
|
||||||
<summary>解：</summary>
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|
||||||
2
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|
||||||
|
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||||||
做法同2
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<details>
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||||||
</details>
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<summary>解：</summary>
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-1
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||||||
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||||||
> **10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。**
|
简单计算勒让德符号
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||||||
|
</details>
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||||||
|
|
||||||
<details>
|
***
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||||||
<summary>解：</summary>
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||||||
0
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||||||
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||||||
计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可
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7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.
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||||||
</details>
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||||||
|
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||||||
---
|
<details>
|
||||||
|
<summary>解：</summary>
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||||||
|
|
||||||
|
$x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
|
||||||
|
|
||||||
|
做法同3，注意多解
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||||||
|
</details>
|
||||||
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|
||||||
|
***
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||||||
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|
||||||
|
8. 模 29 的最小正原根为 ________.
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||||||
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||||||
|
<details>
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||||||
|
<summary>解：</summary>
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||||||
|
2
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||||||
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简单检验计算即可
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</details>
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9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.
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<summary>解：</summary>
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2
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做法同2
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10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。
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<summary>解：</summary>
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0
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计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可
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### 三、计算题（共 25 分）
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### 三、计算题（共 25 分）
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> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）**
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1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）
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模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
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模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
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| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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| 0 | | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 38| 30|
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| 0 | | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 38| 30|
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| 1 | 8 | 3 | 27| 31| 25| 37| 24| 33| 16| 9 |
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| 1 | 8 | 3 | 27| 31| 25| 37| 24| 33| 16| 9 |
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| 2 | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
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| 2 | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
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| 3 | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
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| 3 | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
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| 4 | 20| | | | | | | | | |
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| 4 | 20| | | | | | | | | |
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<summary>解：</summary>
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<summary>解：</summary>
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$\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$
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$\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5$
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$\therefore\text{方程有5个解}$
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$\therefore\text{方程有5个解}$
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$x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
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$x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
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查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
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查表得 $14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
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令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$
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令 $x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)$
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则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
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则有 $6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
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即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
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即 $6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)$
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则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$
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则 $15a\equiv25\ (mod\ 40)$
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化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$
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化为 $3a\equiv5\ (mod\ 8)$，该式解为 $a\equiv7\ (mod\ 8)$
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故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$
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故解为 $a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)$
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查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$
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查表得原式解为 $x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)$
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</details>
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> **2. 计算 Legendre 符号（10 分）**
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2. 计算 Legendre 符号（10 分）
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1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
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1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
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2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
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2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
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<summary>解：</summary>
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<summary>解：</summary>
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勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1
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勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1
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### 四、证明题（25 分）
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### 四、证明题（25 分）
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> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**
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1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）
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<summary>证明：</summary>
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<summary>证明：</summary>
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要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$
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要证121是基3的拟素数，即证 $3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)$
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一种常见的思路：
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一种常见的思路：
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显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$
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显然121与3互素，由欧拉定理， $\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)$
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所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证
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所以 $3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121)$, $3^{10}$显然可以手动验算，得证
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另一种可能性：
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另一种可能性：
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尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证
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尝试逐个检验后发现 $3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120$，直接得证
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> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**
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2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)
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<summary>证明：</summary>
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显然p不为2
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<details>
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<summary>证明：</summary>
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$\because p|n^4+1$
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显然p不为2
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$\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$
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$\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
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$\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
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由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余
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$\because p|n^4+1$
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$\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$
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$\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)$
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$\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
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$\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)$
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又 $\because (n,p)=1$
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由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余
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$\therefore(\frac{2}{p})=1$
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$\therefore(\frac{2n^2}{p})=1$
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$\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$
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类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$
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又 $\because (n,p)=1$
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分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
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$\therefore(\frac{2}{p})=1$
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</details>
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$\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)$
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类似的，有 $n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1$
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分别检验 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$ 与 $p\equiv -1\ (mod\ 8)$，发现只有 $p\equiv 1\ (mod\ 8)$满足条件，得证
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