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477becc3a1
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fff22138d0
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@ -15,7 +15,7 @@ author:
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### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
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> **1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是**
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1. 设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是
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A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.<br>
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B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{m}$.<br>
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@ -29,7 +29,9 @@ B
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$a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}$
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</details>
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> **2. 下列哪个数不是模 11 的原根？**
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***
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2. 下列哪个数不是模 11 的原根？
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A. 7<br>
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B. 6<br>
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@ -43,7 +45,9 @@ C
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简单验证即可
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</details>
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> **3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是**
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***
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3. 9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是
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A. 6<br>
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B. 3<br>
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@ -57,7 +61,9 @@ B
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简单计算即可
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</details>
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> **4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是**
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***
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4. 设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是
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A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.
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B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.
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@ -71,7 +77,9 @@ D
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例如 $a - b = 3, a + b = 5, c = 15$
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</details>
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> **5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为**
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***
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5. 模 40 的简化剩余系中元素的个数为
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A. 16<br>
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B. 28<br>
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@ -85,7 +93,9 @@ A
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$\varphi(40) = 16$
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</details>
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> **6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$**
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***
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6. 已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$
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A. 136<br>
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B. 82<br>
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@ -95,10 +105,13 @@ D. 11152
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<details>
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<summary>解：</summary>
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C
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因为 $(137, 739) = 1, 137*739 = 101243$, 故 $\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576$
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</details>
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> **7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是**
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***
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7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是
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A. $n(n^2 + 1)$
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B. $n(n^2 - 1)$
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@ -112,7 +125,9 @@ B
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$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$，因子中必然存在2与3，故能被6整除
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</details>
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> **8. 下列选项中正确的是**
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***
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8. 下列选项中正确的是
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A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。
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B. 1275 是 Carmichael 数。
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@ -126,7 +141,9 @@ C
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简单验证即可
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</details>
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> **9. 模 24 的一个简化剩余系为**
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***
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9. 模 24 的一个简化剩余系为
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A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}$
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B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}$
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@ -140,7 +157,9 @@ C
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由定义验证即可
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</details>
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> **10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？**
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***
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10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？
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A. 35<br>
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B. 36<br>
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@ -154,11 +173,11 @@ A
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计算勒让德符号即可
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</details>
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### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
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> **1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.**
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1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.
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<details>
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<summary>解：</summary>
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@ -167,7 +186,9 @@ A
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$13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
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</details>
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> **2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.**
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***
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2. $3^{865749} \mod 11 =$ ________.
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<details>
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<summary>解：</summary>
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@ -176,25 +197,34 @@ $13^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}$，故 $\mathrm{ord}_{21}(13) = 2$
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因为 $(3, 11) = 1$，故 $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$，则 $3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}$
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</details>
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> **3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.**
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***
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3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.
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<details>
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<summary>解：</summary>
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$x \equiv 7 \pmod{21}$
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先计算17在模21下的逆元，简单计算得到 $17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}$，再变形原方程为 $5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}$，即 $x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}$
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</details>
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> **4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.**
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***
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4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.
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<details>
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<summary>解：</summary>
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$s = 47, t = -18, (a,b) = 3$
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进行exgcd即可，算法参见教材第一章
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</details>
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> **5. 下面的方程组的解为 ________.**
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5. 下面的方程组的解为 ________.
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$$ \begin{cases}
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3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
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@ -203,12 +233,15 @@ x - y \equiv 10 \pmod{47}
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<details>
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<summary>解：</summary>
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$x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
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变形后解一元一次同余方程即可
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</details>
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> **6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.**
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***
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6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.
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<details>
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<summary>解：</summary>
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@ -217,16 +250,21 @@ $x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}$
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简单计算勒让德符号
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</details>
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> **7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.**
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7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.
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<details>
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<summary>解：</summary>
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$x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
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做法同3，注意多解
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</details>
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> **8. 模 29 的最小正原根为 ________.**
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8. 模 29 的最小正原根为 ________.
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<details>
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<summary>解：</summary>
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@ -235,7 +273,9 @@ $x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
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简单检验计算即可
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</details>
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> **9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.**
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9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.
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<details>
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<summary>解：</summary>
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@ -244,7 +284,9 @@ $x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
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做法同2
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</details>
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> **10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。**
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10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。
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<details>
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<summary>解：</summary>
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@ -253,11 +295,11 @@ $x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$
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计算勒让德符号 $\left( \frac{26}{443} \right)$即可
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</details>
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### 三、计算题（共 25 分）
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> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）**
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1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解（15 分）
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模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
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@ -286,9 +328,9 @@ $x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
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</details>
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> **2. 计算 Legendre 符号（10 分）**
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2. 计算 Legendre 符号（10 分）
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1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
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2) $\left( \frac{286}{563} \right)$
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@ -300,11 +342,11 @@ $x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
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</details>
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### 四、证明题（25 分）
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> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**
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1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）
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<details>
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<summary>证明：</summary>
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@ -320,7 +362,9 @@ $x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)$
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</details>
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> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**
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2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)
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<details>
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<summary>证明：</summary>
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