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| 2023-2024学年下学期期末_含答案 |
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2023-2024学年下学期期末试卷（A）
一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
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设
m > 1是整数，(a, m) = 1，则下列选项中不正确的是A. 若
b \equiv a \pmod{m}，则\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a).
B.a^d \equiv a^k \pmod{m}成立的充要条件是d \equiv k \pmod{m}.
C. 若a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}，则\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a).
D. 若\mathrm{ord}_m(a) = st，则\mathrm{ord}_m(a^s) = t.解：
Ba^d \equiv a^k \pmod{m}成立的充要条件是d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}
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下列哪个数不是模 11 的原根？
A. 7
B. 6
C. 4
D. 2解：
C简单验证即可
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9 模 14 的指数
\mathrm{ord}_{14}(9)是A. 6
B. 3
C. 2
D. 1解：
B简单计算即可
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设
a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0，下列结论不正确的是A. 若
c \mid a, c \mid b，则c \mid (a + b).
B. 若c \mid a，则c \mid ab.
C. 若bc \mid ac，则b \mid a.
D. 若c \mid (a^2 - b^2)，则c \mid (a - b)或c \mid (a + b).解：
D例如
a - b = 3, a + b = 5, c = 15
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模 40 的简化剩余系中元素的个数为
A. 16
B. 28
C. 39
D. 40解：
A\varphi(40) = 16
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已知
\mathrm{ord}_{137}(47) = 136,\mathrm{ord}_{739}(47) = 82，则\mathrm{ord}_{101243}(47) =A. 136
B. 82
C. 5576
D. 11152解：
C因为
(137, 739) = 1, 137*739 = 101243, 故\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576
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设
n为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是A.
n(n^2 + 1)
B.n(n^2 - 1)
C.n(n + 1)
D.n(n - 1)解：
Bn(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)，因子中必然存在2与3，故能被6整除
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下列选项中正确的是
A. 若
m = 1458，则模m的原根不存在。
B. 1275 是 Carmichael 数。
C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
D. 给定整数m > 1，(a,m) = (b,m) = 1，则\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b).解：
C简单验证即可
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模 24 的一个简化剩余系为
A.
\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}
B.\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}
C.\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}
D.\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}解：
C由定义验证即可
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以下哪个数不是模 71 的二次剩余？
A. 35
B. 36
C. 37
D. 38解：
A计算勒让德符号即可
二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
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13 模 21 的指数
\mathrm{ord}_{21}(13) =________.解：
213^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}，故\mathrm{ord}_{21}(13) = 2
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3^{865749} \mod 11 =________.解：
4因为
(3, 11) = 1，故3^{10} \equiv 1 \pmod{11}，则3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}
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同余方程
17x \equiv 14 \pmod{21}的解为 ________.解：
x \equiv 7 \pmod{21}先计算17在模21下的逆元，简单计算得到
17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}，再变形原方程为5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}，即x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}
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已知
a = 123, b = 321，则有s =________,t =________，使得sa + tb = (a, b) =________.解：
s = 47, t = -18, (a,b) = 3进行exgcd即可，算法参见教材第一章
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下面的方程组