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| 2023-2024学年下学期期末_含答案 |
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2023-2024学年下学期期末试卷（A）
一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
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设
m > 1是整数，(a, m) = 1，则下列选项中不正确的是A. 若
b \equiv a \pmod{m}，则\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a).
B.a^d \equiv a^k \pmod{m}成立的充要条件是d \equiv k \pmod{m}.
C. 若a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}，则\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a).
D. 若\mathrm{ord}_m(a) = st，则\mathrm{ord}_m(a^s) = t.解：
Ba^d \equiv a^k \pmod{m}成立的充要条件是d \equiv k \pmod{(\mathrm{ord}_m(a))}
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下列哪个数不是模 11 的原根？
A. 7
B. 6
C. 4
D. 2解：
C简单验证即可
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9 模 14 的指数
\mathrm{ord}_{14}(9)是A. 6
B. 3
C. 2
D. 1解：
B简单计算即可
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设
a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0，下列结论不正确的是A. 若
c \mid a, c \mid b，则c \mid (a + b).
B. 若c \mid a，则c \mid ab.
C. 若bc \mid ac，则b \mid a.
D. 若c \mid (a^2 - b^2)，则c \mid (a - b)或c \mid (a + b).解：
D例如
a - b = 3, a + b = 5, c = 15
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模 40 的简化剩余系中元素的个数为
A. 16
B. 28
C. 39
D. 40解：
A\varphi(40) = 16
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已知
\mathrm{ord}_{137}(47) = 136,\mathrm{ord}_{739}(47) = 82，则\mathrm{ord}_{101243}(47) =A. 136
B. 82
C. 5576
D. 11152解：
C因为
(137, 739) = 1, 137*739 = 101243, 故\mathrm{ord}_{101243}(47) = [\mathrm{ord}_{137}(47), \mathrm{ord}_{739}(47)] = [136, 82] = 5576
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设
n为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是A.
n(n^2 + 1)
B.n(n^2 - 1)
C.n(n + 1)
D.n(n - 1)解：
Bn(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)，因子中必然存在2与3，故能被6整除
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下列选项中正确的是
A. 若
m = 1458，则模m的原根不存在。
B. 1275 是 Carmichael 数。
C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
D. 给定整数m > 1，(a,m) = (b,m) = 1，则\mathrm{ord}_m(a \cdot b) = \mathrm{ord}_m(a)\ \cdot \mathrm{ord}_m(b).解：
C简单验证即可
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模 24 的一个简化剩余系为
A.
\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 20\}
B.\{-7, -1, 9, 13, 17, 2, 23\}
C.\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}
D.\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}解：
C由定义验证即可
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以下哪个数不是模 71 的二次剩余？
A. 35
B. 36
C. 37
D. 38解：
A计算勒让德符号即可
二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
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13 模 21 的指数
\mathrm{ord}_{21}(13) =________.解：
213^2 = 169 \equiv 1 \pmod{21}，故\mathrm{ord}_{21}(13) = 2
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3^{865749} \mod 11 =________.解：
4因为
(3, 11) = 1，故3^{10} \equiv 1 \pmod{11}，则3^{865749} \equiv 3^9 \equiv 4 \pmod{11}
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同余方程
17x \equiv 14 \pmod{21}的解为 ________.解：
x \equiv 7 \pmod{21}先计算17在模21下的逆元，简单计算得到
17 * 5 \equiv 1 \pmod{21}，再变形原方程为5 * 17x \equiv 5 * 14 \pmod{21}，即x \equiv 70 \equiv 7 \pmod{21}
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已知
a = 123, b = 321，则有s =________,t =________，使得sa + tb = (a, b) =________.解：
s = 47, t = -18, (a,b) = 3进行exgcd即可，算法参见教材第一章
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下面的方程组的解为 ________.
$ \begin{cases} 3x + 5y \equiv 38 \pmod{47}\\ x - y \equiv 10 \pmod{47} \end{cases}解：
x \equiv 11 \pmod{47}, y \equiv 1 \pmod{47}变形后解一元一次同余方程即可
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\left( \frac{65}{103} \right) =________.解：
-1简单计算勒让德符号
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同余方程
6x \equiv 3 \pmod{9}的解为 ________.解：
x \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}做法同3，注意多解
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模 29 的最小正原根为 ________.
解：
2简单检验计算即可
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2^{2002}被 7 除所得的余数为 ________.解：
2做法同2
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已知 443 是素数，同余方程
x^2 \equiv 26 \pmod{443}有 ________ 个解。解：
0计算勒让德符号
\left( \frac{26}{443} \right)即可
三、计算题（共 25 分）
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判断方程
x^{15} \equiv 14 \pmod{41}解的个数，并求出所有解（15 分）模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 40 26 15 12 22 1 39 38 30 1 8 3 27 31 25 37 24 33 16 9 2 34 14 29 36 13 4 17 5 11 7 3 23 28 10 18 19 21 2 32 35 6 4 20 解：
\because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5
\therefore\text{方程有5个解}
x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)
查表得14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)
令x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)
则有6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)
即6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)
则15a\equiv25\ (mod\ 40)
化为3a\equiv5\ (mod\ 8)，该式解为a\equiv7\ (mod\ 8)
故解为a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)
查表得原式解为x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)
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计算 Legendre 符号（10 分）
\left( \frac{33}{317} \right)\left( \frac{286}{563} \right)
解：
勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1
四、证明题（25 分）
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证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）
证明：
要证121是基3的拟素数，即证
3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)一种常见的思路：
显然121与3互素，由欧拉定理，\varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)
所以3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121),3^{10}显然可以手动验算，得证另一种可能性：
尝试逐个检验后发现3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120，直接得证
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设
n为偶数,p为素数, 且p \mid n^{4} + 1, 证明p \equiv 1 \pmod 8(15 分)证明：
显然p不为2
\because p|n^4+1
\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)
\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)
\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余
\therefore(\frac{2n^2}{p})=1又
\because (n,p)=1
\therefore(\frac{2}{p})=1
\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)类似的，有
n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1
分别检验p\equiv 1\ (mod\ 8)与p\equiv -1\ (mod\ 8)，发现只有p\equiv 1\ (mod\ 8)满足条件，得证