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2024-2025学年上学期期末_含答案

说明

本学期（2024年秋季学期）的期末试卷难度相当低，本人评价为有手就行，故没有特意记忆所有题目，而是挑出一些有代表性的题目以供参考

我们这里再提供一道填空题，一道选择题，以显示这张卷子的诚意

1. 设 G 是一个群，对于 \forall a,b \in G， a*b=b*a， 则 G 是 ____ 群

2. 设 R 是一个环，对于 \forall a,b \in R， a+b=b+a， 则 R 是？
   A. 整环 B. 交换环 C. 含幺环 D. 环

很大程度上，老师的出题和给分是十分宽容的，请大家好好学习这门课程，数学并不是妖魔鬼怪！

题目

1. 设 G=\{a,b,c,e\} 是一个群， H=\{a,e\} 是 G 的子群，写出 H 的所有左陪集

   解：

   将 G 中元素 g 各个代入，计算 gH

   • g = e： eH = H

   • g = a： aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}，由于 G 是群，且 H 是子群，所以 a^2 必须是 G 中元素。 故 a^2 = e，则： aH = \{ e, a \} = H

   • g = b： bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}， 假设 ba = c ，则： bH = \{ c, b \}

   • g = c： cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}， 假设 ca = b ，则： cH = \{ b, c \} = bH

   综上所述，H的所有子陪集是 \{ e, a \}, \{ b, c \}

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2. 写出 R=Z/6Z 的所有零因子

   解：

   R=Z/6Z \cong Z_6，我们只要考虑 Z_6 上的性质： 显然有 2\times3 \equiv 0 \pmod{6}, 4\times3 \equiv 0 \pmod{6}，所以零因子是2，3，4

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3. 定义在有限域 F_{17} 上的椭圆曲线 E: x^3 + 2x + 3 = y^2 上有点 P(2, 7), Q(11, 8) , 计算 P+Q , 2P

   解：

   直接计算即可，我们这里直接给出答案： P+Q = (8, 15) , 2P = (14, 15)

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4. 求域 F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)的一个生成元 g(x)，并用 g(x) 的幂表示 F_{16} 中的所有非零元

   解：

   这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 x :

   x^n	x^n\pmod{x^4+x^3+1}
   x^0	1
   x^1	x
   x^2	x^2
   x^3	x^3
   x^4	x^3 + 1
   x^5	x^3 + x + 1
   x^6	x^3 + x^2 + x + 1
   x^7	1 + x^2 + x
   x^8	x^2 + x + 1
   x^9	x^3 + x^2 + x
   x^{10}	x^3 + x^2 + x + 1
   x^{11}	x^3 + x + 1
   x^{12}	x^3 + 1
   x^{13}	x^3
   x^{14}	x^2

   如上表，由 x 生成的15个非零元素互不相等，所以 x 确实是生成元，非零元的表示如表中所示

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5. 证明：有限环的特征一定不为0

   请参考课件Chap7.pdf中27-28页