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| 2024Spring_期末 |
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华东师范大学期末试卷（A）
一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
设
m > 1是整数，(a, m) = 1，则下列选项中不正确的是
A. 若 b \equiv a \pmod{m}，则 \mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a).
B. a^d \equiv a^k \pmod{m} 成立的充要条件是 d \equiv k \pmod{\mathrm{ord}_m(a)}.
C. 若 a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}，则 \mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a).
D. 若 \mathrm{ord}_m(a) = st，则 \mathrm{ord}_m(a^s) = t.
下列哪个数不是模 11 的原根？
A. 7 B. 6 C. 4 D. 2
9 模 14 的指数
\mathrm{ord}_{14}(9)是
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
设
a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0，下列结论不正确的是
A. 若 c \mid a, c \mid b，则 c \mid (a + b).
B. 若 c \mid a，则 c \mid ab.
C. 若 b \mid c, c \mid a，则 b \mid a.
D. 若 c \mid (a^2 - b^2)，则 c \mid (a - b) 或 c \mid (a + b).
模 40 的简化剩余系中元素的个数为
A. 16 B. 28 C. 39 D. 40
已知
\mathrm{ord}_{137}(47) = 136,\mathrm{ord}_{739}(47) = 82，则\mathrm{ord}_{101243}(47) =
A. 136 B. 82 C. 5576 D. 11152
7. 设
n为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是
A. n(n^2 + 1)
B. n(n^2 - 1)
C. n(n + 1)
D. n(n - 1)
8. 下列选项中正确的是
A. 若 m = 1458，则模 m 的原根不存在。
B. 1275 是 Carmichael 数。
C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
9. 模 24 的一个简化剩余系为
A. \{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 23\}
B. \{-7, -1, 9, 13, 17, 23\}
C. \{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}
D. \{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}
** 10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？
A. 35 B. 36 C. 37 D. 38
二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
-
13 模 21 的指数
\mathrm{ord}_{21}(13) =________. -
3865749 \mod 11 =________. -
同余方程
17x \equiv 14 \pmod{21}的解为 ________. -
已知
a = 123, b = 321，则有s =________,t =________，使得sa + tb = (a, b) =________. -
下面的方程组的解为 ________.
\begin{cases}
3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
x - y \equiv 10 \pmod{47}
\end{cases} $$
6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.
7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.
8. 模 29 的最小正原根为 ________.
9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.
10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。
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### 三、计算题（共 25 分）
> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解**
模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 16| 30|
| 1 | 8 | 3 | 27| 31| 23| 37| 24| 33| 16| 9 |
| 2 | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
| 3 | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
| 4 | 20| | | | | | | | | |
---
> **2. 计算 Legendre 符号**
1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
2) $\left( \frac{286}{563} \right)$ （10 分）
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### 四、证明题（25 分）
> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**
> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**