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答案
1.设 G=\{a,b,c,e\} 是一个群， H=\{a,e\} 是 G 的子群，写出 H 的所有左陪集
解：
将 G 中元素 g 各个代入，计算 gH
-
g = e：eH = H -
g = a：aH = \{ a \cdot a, a \cdot e \} = \{ a^2, a \}，由于G是群，且H是子群，所以a^2必须是G中元素。 故a^2 = e，则：aH = \{ e, a \} = H -
g = b：bH = \{ b \cdot a, b \cdot e \} = \{ ba, b \}， 假设ba = c，则：bH = \{ c, b \} -
g = c：cH = \{ c \cdot a, c \cdot e \} = \{ ca, c \}， 假设ca = b，则：cH = \{ b, c \} = bH
综上所述，H的所有子陪集是 \{ e, a \}, \{ b, c \}
2.写出 R=Z/6Z 的所有零因子
解：
R=Z/6Z \cong Z_6，我们只要考虑 Z_6 上的性质：
显然有 2\*3 \equiv 0 \pmod{6}, 4*3 \equiv 0 \pmod{6}，所以零因子是2，3，4
3.定义在有限域 F_{17} 上的椭圆曲线 E: x^3 + 2x + 3 = y^2 上有点 P(2, 7), Q(11, 8) , 计算 P+Q , 2P
解：
直接计算即可，我们这里直接给出答案： P+Q = (8, 15) , 2P = (14, 15)
4.求域 F_{16}=F_2[x]/(x^4+x^3+1)的一个生成元 g(x)，并用 g(x) 的幂表示 F_{16} 中的所有非零元
解：
这时候有同学要问了，生成元怎么找啊？其实很简单，直接验证就可以了，（出于强大的直觉和观察力）我们在这里直接验证 x :
x^n |
x^n\pmod{x^4+x^3+1} |
|---|---|
x^0 |
1 |
x^1 |
x |
x^2 |
x^2 |
x^3 |
x^3 |
x^4 |
x^3 + 1 |
x^5 |
x^3 + x + 1 |
x^6 |
x^3 + x^2 + x + 1 |
x^7 |
1 + x^2 + x |
x^8 |
x^2 + x + 1 |
x^9 |
x^3 + x^2 + x |
x^{10} |
x^3 + x^2 + x + 1 |
x^{11} |
x^3 + x + 1 |
x^{12} |
x^3 + 1 |
x^{13} |
x^3 |
x^{14} |
x^2 |
如上表，由 x 生成的15个非零元素互不相等，所以 x 确实是生成元，非零元的表示如表中所示
5.证明：有限环的特征一定不为0
证明：请参考课件Chap7.pdf中27-28页