SharedCourses/docs/courses/软件工程学院/信息安全数学基础（一）/期末试卷/手做答案.md

注：扫描件中模糊处均不影响做题

一、选择题

BCBDA CBCCA

二、填空题

1. 2
2. 4
3. x\equiv7\ (mod\ 11)
4. s=47,t=-18,(a,b)=3
5. x\equiv11\ (mod\ 47), y\equiv1\ (mod\ 47)
6. -1
7. x\equiv2,5,8\ (mod\ 9)
8. 2
9. 2
10. 0

三、计算题

1. \because\varphi(41)=40,\ (\varphi(41),15)=5
\therefore\ 方程有5个解
   
   x^{15}\equiv14\ (mod\ 41)
   查表得 14\equiv6^{25}\ (mod\ 41)
   令 x\equiv\ 6^a\ (mod\ 41)
   则有 6^{a^{15}}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)
   即 6^{15a}\equiv6^{25}\ (mod\ 41)
   则 15a\equiv25\ (mod\ 40)
   化为 3a\equiv5\ (mod\ 8)，该式解为 a\equiv7\ (mod\ 8)
   故解为 a\equiv7,15,23,31,39\ (mod\ 40)
   查表得原式解为 x\equiv29,3,30,13,7\ (mod\ 41)
2. 勒让德符号的计算较为简单，这里不给出解题过程，两问的答案分别是-1，-1

四、证明题

1.要证121是基3的拟素数，即证 3^{120}\equiv1\ (mod\ 121)
一种常见的思路：
显然121与3互素，由欧拉定理， \varphi(121)=11^2-11=110,3^{\varphi(121)}=3^{110}\equiv1\ (mod\ 121)
所以 3^{120}\equiv3^{10}\ (mod\ 121), 3^{10}显然可以手动验算，得证
另一种可能性： 尝试逐个检验后发现 3^{5}=243\equiv1\ (mod\ 121),5|120，直接得证
2. 显然p不为2
\because p|n^4+1
\therefore n^4+1\equiv 0\ (mod \ p)
\therefore n^4+2n^2+1\equiv 2n^2\ (mod \ p)
\therefore (n^2+1)^2\equiv 2n^2\ (mod \ p)
由二次剩余的定义，知式子右边是模p的二次剩余
\therefore(\frac{2n^2}{p})=1
又 \because (n,p)=1
\therefore(\frac{2}{p})=1
\therefore p\equiv 1,-1\ (mod\ 8)

类似的，有 n^4-2n^2+1\equiv -2n^2\ (mod \ p),(\frac{-2}{p})=1
分别检验 p\equiv 1\ (mod\ 8) 与 p\equiv -1\ (mod\ 8)，发现只有 p\equiv 1\ (mod\ 8)满足条件，得证