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| 2025-2026学年上学期期中试卷 |
一、
- 计算四阶行列式 $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \ 1 & 2 & 0 & -5 \ 1 & 0 & 1 & 2 \ 4 & 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} $
- 证明$ \begin{vmatrix} a & b & c & d \ a & a + b & a + b + c & a + b + c + d \ a & 2a + b & 3a + 2b + c & 4a + 3b + 2c + d \ a & 3a + b & 6a + 3b + c & 10a + 6b + 3c + d \ \end{vmatrix} = a^4 $
二
- 计算四阶行列式 $D_4 = \begin{vmatrix} a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 & a_4^3 \ a_1^2b_1 & a_2^2b_2 & a_3^2b_3 & a_4^2b_4 \ a_1b_1^2 & a_2b_2^2 & a_3b_3^2 & a_4b_4^2 \ b_1^3 & b_2^3 & b_3^3 & b_4^3 \end{vmatrix}, a_i \not= 0,(i = 1,2,3,4) $
- 计算
f(x+1) - f(x), 其中
f(x) = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x \\
1 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x^2 \\
1 & 3 & 3 & 0 & \cdots & 0 & x^3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & n & C_n^2 & C_n^3 & \cdots & C_n^{n-1} & x^n \\
1 & n + 1 & C_{n+1}^2 & C_{n+1}^3 & \cdots & C_{n+1}^{n-1} & n^{n+1}
\end{vmatrix}
- 计算以下
n+1阶行列式：
D_{n+1} = \begin{vmatrix}
a & ax & ax^2 & \cdots & ax^{n-1} & ax^n \\
-1 & a & ax & \cdots & ax^{n-2} & ax^{n-1} \\
0 & -1 & a & \cdots & ax^{n-1} & ax^{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a & ax \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & a
\end{vmatrix}
三
- 设行列式
D = \begin{vmatrix}
3 & 0 & 4 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 2 \\
0 & -7 & 0 & 0 \\
5 & 3 & -2 & 2
\end{vmatrix}
求 D 的第 4 行元素的余子式之和 M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}的值。
2.设a_1a_2\cdots a_{n-1} \not= 0, n > 1。试求行列式
D =
\begin{vmatrix}
x & b_1 & b_2 & \cdots & b_{n-1} \\
1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1}
\end{vmatrix}
的第一行中诸元素的代数余子式之和 A_{11} + A_{12} + \cdots +A_{1n}。
四
- 已知齐次线性方程组
\left \{
\begin{aligned}
(3-\lambda)x_1 + x_2 + x_3 &= 0, \\
(2-\lambda)x_2 - x_3 &= 0, \\
4x_1 - 2x_2 + (1-\lambda)x_3 &= 0
\end{aligned}
\right .
有非零解，求\lambda的值。
- 已知
a^2 \not = b^2，试证方程组
\left \{
\begin{aligned}
ax_1 + bx_{2n} &= 1, \\
ax_2 + bx_{2n-1} &= 1, \\
\vdots \\
ax_n + bx_{n+1} &= 1, \\
bx_n+ax_{n+1} &= 1, \\
bx_{n-1} + ax_{n+2} &= 1, \\
\vdots \\
bx_1+ax_{2n} &= 1 \\
\end{aligned}
\right .
有唯一解，并求解。
五
设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & 1 & -1 \ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$
- 求
A^2 - 证
A可逆，且求A^{-1} - 求
(A^*)^{-1}
六
-
设
ABA=C, 其中 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 3 \ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, 求 $B的伴随矩阵B^*。 -
已知矩阵
A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}, 且AXB = C, 求矩阵X
七
已知 A 为三阶可逆矩阵，B 为三阶矩阵，且满足 2A^{-1}B=B-4E。
- 证明：
(A-2E)为可逆矩阵，且写出(A-2E)^{-1}。 - 若
B = \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}, 求矩阵A。
八
设$
\left {
\begin{aligned}
(2-\lambda)x_1+2x_2-2x_3 &= 1 \
2x_1+(5-\lambda)x_2-4x_3 &= 2 \
-2x_1-4x_2+(5-\lambda)x_3 &= -\lambda - 1
\end{aligned}
\right .
$
问 \lambda 为何值时，此方程组有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解。
九
已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & 1 & -1 \ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
- 求
A^n(n=2,3,\cdots) - 若方阵
B满足A^3+A^2+AB-3A-2E=0，求B