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title: 2024Spring_期末
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category:
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- 软件工程学院
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- 课程资料
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tag:
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- 试卷
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author:
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- タクヤマ
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- KirisameVanilla
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## 华东师范大学期末试卷（A）
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### 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
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> **设 $m > 1$ 是整数，$(a, m) = 1$，则下列选项中不正确的是**
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A. 若 $b \equiv a \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(b) = \mathrm{ord}_m(a)$.
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B. $a^d \equiv a^k \pmod{m}$ 成立的充要条件是 $d \equiv k \pmod{\mathrm{ord}_m(a)}$.
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C. 若 $a' \cdot a \equiv 1 \pmod{m}$，则 $\mathrm{ord}_m(a') = \mathrm{ord}_m(a)$.
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D. 若 $\mathrm{ord}_m(a) = st$，则 $\mathrm{ord}_m(a^s) = t$.
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> **下列哪个数不是模 11 的原根？**
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A. 7 B. 6 C. 4 D. 2
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> **9 模 14 的指数 $\mathrm{ord}_{14}(9)$ 是**
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A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
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> **设 $a, b, c \in \mathbb{Z}, c \ne 0$，下列结论不正确的是**
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A. 若 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (a + b)$.
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B. 若 $c \mid a$，则 $c \mid ab$.
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C. 若 $b \mid c, c \mid a$，则 $b \mid a$.
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D. 若 $c \mid (a^2 - b^2)$，则 $c \mid (a - b)$ 或 $c \mid (a + b)$.
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> **模 40 的简化剩余系中元素的个数为**
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A. 16 B. 28 C. 39 D. 40
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> **已知 $\mathrm{ord}_{137}(47) = 136$, $\mathrm{ord}_{739}(47) = 82$，则 $\mathrm{ord}_{101243}(47) =$**
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A. 136 B. 82 C. 5576 D. 11152
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> **7. 设 $n$ 为整数，则下列选项中一定可以被 6 整除的是**
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A. $n(n^2 + 1)$
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B. $n(n^2 - 1)$
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C. $n(n + 1)$
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D. $n(n - 1)$
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> **8. 下列选项中正确的是**
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A. 若 $m = 1458$，则模 $m$ 的原根不存在。
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B. 1275 是 Carmichael 数。
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C. 2047 是对于基 2 的拟素数。
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> **9. 模 24 的一个简化剩余系为**
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A. $\{-1, 2, 3, 5, 7, 9, 19, 23\}$
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B. $\{-7, -1, 9, 13, 17, 23\}$
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C. $\{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
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D. $\{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
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> ** 10. 以下哪个数不是模 71 的二次剩余？
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A. 35 B. 36 C. 37 D. 38
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### 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
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1. 13 模 21 的指数 $\mathrm{ord}_{21}(13) =$ ________.
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2. $3865749 \mod 11 =$ ________.
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3. 同余方程 $17x \equiv 14 \pmod{21}$ 的解为 ________.
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4. 已知 $a = 123, b = 321$，则有 $s =$ ________, $t =$ ________，使得 $sa + tb = (a, b) =$ ________.
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5. 下面的方程组的解为 ________.
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$$ \begin{cases}
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3x + 5y \equiv 38 \pmod{47} \\
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x - y \equiv 10 \pmod{47}
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\end{cases} $$
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6. $\left( \frac{65}{103} \right) =$ ________.
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7. 同余方程 $6x \equiv 3 \pmod{9}$ 的解为 ________.
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8. 模 29 的最小正原根为 ________.
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9. $2^{2002}$ 被 7 除所得的余数为 ________.
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10. 已知 443 是素数，同余方程 $x^2 \equiv 26 \pmod{443}$ 有 ________ 个解。
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### 三、计算题（共 25 分）
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> **1. 判断方程 $x^{15} \equiv 14 \pmod{41}$ 解的个数，并求出所有解**
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模 41 以 6 为原根的指数表如下，其中第一列表示十位数，第一行表示个位数，交叉位置表示该数的指数：
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| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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| 0 | | 40| 26| 15| 12| 22| 1 | 39| 16| 30|
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| 1 | 8 | 3 | 27| 31| 23| 37| 24| 33| 16| 9 |
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| 2 | 34| 14| 29| 36| 13| 4 | 17| 5 | 11| 7 |
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| 3 | 23| 28| 10| 18| 19| 21| 2 | 32| 35| 6 |
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| 4 | 20| | | | | | | | | |
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> **2. 计算 Legendre 符号**
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1) $\left( \frac{33}{317} \right)$
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2) $\left( \frac{286}{563} \right)$ （10 分）
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### 四、证明题（25 分）
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> **1. 证明：121 是对基 3 的拟素数。（10 分）**
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> **2. 设 $n$ 为偶数, $p$ 为素数, 且 $p \mid n^{4} + 1$, 证明 $p \equiv 1 \pmod 8$ (15 分)**
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