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title: 2025-2026学年上学期期中试卷
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### 一、
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1. 计算四阶行列式 $D =
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\begin{vmatrix}
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1 & 2 & 3 & 2 \\
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1 & 2 & 0 & -5 \\
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1 & 0 & 1 & 2 \\
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4 & 3 & 1 & 2
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\end{vmatrix}
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$
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2. 证明$
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\begin{vmatrix}
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a & b & c & d \\
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a & a + b & a + b + c & a + b + c + d \\
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a & 2a + b & 3a + 2b + c & 4a + 3b + 2c + d \\
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a & 3a + b & 6a + 3b + c & 10a + 6b + 3c + d \\
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\end{vmatrix} = a^4
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$
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### 二
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1. 计算四阶行列式 $D_4 =
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\begin{vmatrix}
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a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 & a_4^3 \\
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a_1^2b_1 & a_2^2b_2 & a_3^2b_3 & a_4^2b_4 \\
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a_1b_1^2 & a_2b_2^2 & a_3b_3^2 & a_4b_4^2 \\
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b_1^3 & b_2^3 & b_3^3 & b_4^3
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\end{vmatrix}, a_i \not= 0,(i = 1,2,3,4)
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$
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2. 计算 $f(x+1) - f(x)$, 其中
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$$
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f(x) = \begin{vmatrix}
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1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x \\
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1 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x^2 \\
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1 & 3 & 3 & 0 & \cdots & 0 & x^3 \\
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\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
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1 & n & C_n^2 & C_n^3 & \cdots & C_n^{n-1} & x^n \\
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1 & n + 1 & C_{n+1}^2 & C_{n+1}^3 & \cdots & C_{n+1}^{n-1} & n^{n+1}
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\end{vmatrix}
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$$
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3. 计算以下 $n+1$ 阶行列式：
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$$
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D_{n+1} = \begin{vmatrix}
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a & ax & ax^2 & \cdots & ax^{n-1} & ax^n \\
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-1 & a & ax & \cdots & ax^{n-2} & ax^{n-1} \\
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0 & -1 & a & \cdots & ax^{n-1} & ax^{n-2} \\
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\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
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0 & 0 & 0 & \cdots & a & ax \\
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0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & a
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\end{vmatrix}
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$$
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### 三
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1. 设行列式
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$$
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D = \begin{vmatrix}
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3 & 0 & 4 & 0 \\
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2 & 2 & 2 & 2 \\
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0 & -7 & 0 & 0 \\
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5 & 3 & -2 & 2
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\end{vmatrix}
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$$
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求 $D$ 的第 $4$ 行元素的余子式之和 $M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}的值。$
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2.设$a_1a_2\cdots a_{n-1} \not= 0, n > 1$。试求行列式
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$$
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D =
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\begin{vmatrix}
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x & b_1 & b_2 & \cdots & b_{n-1} \\
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1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
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1 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\
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\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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1 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1}
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\end{vmatrix}
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$$
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的第一行中诸元素的代数余子式之和 $A_{11} + A_{12} + \cdots +A_{1n}$。
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### 四
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1. 已知齐次线性方程组
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$$
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\left \{
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\begin{aligned}
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(3-\lambda)x_1 + x_2 + x_3 &= 0, \\
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(2-\lambda)x_2 - x_3 &= 0, \\
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4x_1 - 2x_2 + (1-\lambda)x_3 &= 0
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\end{aligned}
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\right .
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$$
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有非零解，求$\lambda$的值。
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2. 已知 $a^2 \not = b^2$，试证方程组
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$$
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\left \{
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\begin{aligned}
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ax_1 + bx_{2n} &= 1, \\
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ax_2 + bx_{2n-1} &= 1, \\
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|
\vdots \\
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ax_n + bx_{n+1} &= 1, \\
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|
bx_n+ax_{n+1} &= 1, \\
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|
bx_{n-1} + ax_{n+2} &= 1, \\
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|
\vdots \\
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|
bx_1+ax_{2n} &= 1 \\
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\end{aligned}
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\right .
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$$
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有唯一解，并求解。
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### 五
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设 $A =
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\begin{bmatrix}
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1 & 1 & 1 & 1 \\
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1 & 1 & -1 & -1 \\
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1 & -1 & 1 & -1 \\
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1 & -1 & -1 & 1
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\end{bmatrix}$
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1. 求 $A^2$
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2. 证 $A$ 可逆，且求 $A^{-1}$
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3. 求 $(A^*)^{-1}$
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### 六
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1. 设 $ABA=C$, 其中 $A =
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 0 \\
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1 & 1 & 3 \\
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0 & 1 & -1
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\end{bmatrix},C =
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 1 \\
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0 & 1 & 0 \\
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0 & 0 & 1
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\end{bmatrix}$, 求 $B$ 的伴随矩阵 $B^*$。
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2. 已知矩阵 $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$, 且 $AXB = C$, 求矩阵 $X$
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### 七
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已知 $A$ 为三阶可逆矩阵，$B$ 为三阶矩阵，且满足 $2A^{-1}B=B-4E$。
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1. 证明：$(A-2E)$ 为可逆矩阵，且写出 $(A-2E)^{-1}$。
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2. 若 $B = \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$, 求矩阵 $A$。
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### 八
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设$
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\left \{
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\begin{aligned}
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(2-\lambda)x_1+2x_2-2x_3 &= 1 \\
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2x_1+(5-\lambda)x_2-4x_3 &= 2 \\
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-2x_1-4x_2+(5-\lambda)x_3 &= -\lambda - 1
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\end{aligned}
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\right .
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$
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问 $\lambda$ 为何值时，此方程组有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解。
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### 九
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已知矩阵 $A = \begin{pmatrix}
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1 & 1 & 1 & 1 \\
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1 & 1 & -1 & -1 \\
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1 & -1 & 1 & -1 \\
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1 & -1 & -1 & 1
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\end{pmatrix}$
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1. 求 $A^n(n=2,3,\cdots)$
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2. 若方阵$B$满足$A^3+A^2+AB-3A-2E=0$，求$B$
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